Primzahlen bis ins Unendliche

[GuenterS]

Zitat:

Zitat von glkgereon

Zitat:

Zitat von Airblader

Wurde das nun nicht schon 3-4 Mal erklärt? ;)

Hier gehts inzwischen auch mehr um das Ermitteln einer hoheh Primzahl, nicht die höchste :)

air

dieses Verfahren ermöglichst dies aber doch...

In Kombination mit der DEC ist es doch super-einfach...oder seh ich da was falsch?

PseudoCode:

Delphi-Quellcode:

While not Abgebrochen do
  begin
  AktPrime:=(AktPrime-1)*AktPrime+1;
  Output(AktPrime);
  end;

Überlegung:
Eine neue Primzahl kann man berechnen aus der letzten primzahl multipliziert mit derm Produkt aller Primzahlen davor...
Gleichzeitig ist aber das Produkt aller davor gleich der aktuellen primzahl-1
somit sei die neue primzahl die alte mal die alte minus eins.

mit dem Startwert 2 gäbe das:
(2-1)*2+1 = 3
(3-1)*3+1 = 7
(7-1)*7+1 = 43

sind zwar längst nicht alle (da fehlen aber sehr viele :shock: ) aber es sind offensichtlich primzahlen....

Und das machst Du bis du eine Primzahl hast, welche aus 10 Millionen Stellen besteht.

[glkgereon]

Zitat:

Zitat von GuenterS

Und das machst Du bis du eine Primzahl hast, welche aus 10 Millionen Stellen besteht.

Joa...wieso nicht?^^

Da sich die anzahl der Stellen immer verdoppelt (gaaanz grob...) wären das dann Wurzel(10Mio) Schritte...etwa 3200

[negaH]

Zitat:

Zitat von icqgoofy

Hi,

"Ganz einfach",
weil jene Zahl, weder durch 2, 3, 5, 7, ....... noch Pmax teilbar ist,
da ja die VORGÄNGERZAHL durch all diese Zahlen teilbar ist.
Und da es auf Grund der Primfaktorzerlegung KEINE
anderen Zahlen geben kann, durhc die jene Zahl teilbar ist,
da, wie der Name schon sagt, die Primfaktorzerlegung
eine Zahl in alle in ihr befindlichen Primzahlen zerlegt,
und da ALLE Primzahlen in der VORGÄNGERZAHL enthalten sind,
MUSS diese Zahl eine Primzahl sein.

Gruß icqgoofy

Ah, interessante These ;)

2*3*5*7*11*13 = 30030

30031 müsste demnach eine Primzahl sein, richtig ?

30031 = 59 * 509

Zitat:

Zitat von Günter S

Überlegung:
Eine neue Primzahl kann man berechnen aus der letzten primzahl multipliziert mit derm Produkt aller Primzahlen davor...
Gleichzeitig ist aber das Produkt aller davor gleich der aktuellen primzahl-1
somit sei die neue primzahl die alte mal die alte minus eins.

mit dem Startwert 2 gäbe das:
(2-1)*2+1 = 3
(3-1)*3+1 = 7
(7-1)*7+1 = 43

Aha ebenfalls eine interessante These:

(43-1) * 43 +1 = 1807

1807 müsste demnach eine Primzahl sein, richtig ?

1807 = 13 * 139.

Shit wenn die Zahlen doch nicht so widerspenstig wären ;)

Aber woran scheiterts ??

Zitat:

Zitat von Euklid

Widerspruchsbeweis: Nimmt man an, daß es nur endlich viele Primzahlen gibt, also etwa p1, p2, ... pn, dann ist die Zahl m=p1*p2* ... *pn+1 größer als alle diese Primzahlen und wird von keiner Primzahl geteilt. Also ist m selbst eine Primzahl, ein Widerspruch zur Annahme.

Damit kann man beweisen das es unendlich viele Primzahlen gibt, weil die Annahme "endlich viele" eben FALSCH ist. Dieser Beweis kann nicht dazu dienen eine Konstruktionsregel für Primzahlen zu bauen, da er eben beweist das es nicht endlich viele Primzahlen gibt. Die Konstruktionsregel kann nur dann funktionieren wenn es endlich viele Primzahlen gäbe, da dies aber nicht der Fall ist widerspricht sich die gewählte Konstruktionsregel selber ;)

Dh. Wenn wir annehmen das es nur endlich viele Primzahlen gäbe dann müsste das Produkt aus allen vorherigen Primzahlen +1 (unsere Konstruktionsregel) ebenfalls eine neue Primzahl sein da sie nicht durch ihre Vorgänger teilbar ist. Da damit aber implizit widerlegt wurde das es nur endlich viele Primzahlen gibt muß unsere Konstruktonsregel zur Berechnung einer neuen Primzahl ebenfalls falsch sein.

Der wörtlich korregierte Beweis des Euklids müsste nämlich so lauten:

Zitat:

Zitat von Euklid

Bildet man das Produkt aus allen Primzahlen und addiert +1 dann kann keiner der verwendeten Faktoren ein Teiler der so entstandenen Zahl sein, denn stets bleibt beim Teilen der Rest 1. Das bedeutet diese Zahl muß eine bislang unbekannte Primzahl als Teiler besitzen die größer als die größte bekannte Primzahl ist und demzufolge muß es unendlich viele Primzahlen geben.

Gruß Hagen

[markusj]

Man müsste einen anderen Algorithmus finden, dessen Rechenaufwand linear zu der Anzahl der Stellen ansteigt, anstatt Quadratisch.
Mir ist es vor kurzem gelungen, den Aufwand für die Kontrolle einer ListBox/StringList nach doppelten Einträgen zu linearisieren^^. Das ging aber nur, weil die Daten über ein 4D-Array zu repräsentieren waren --> 4D-Array od Boolean gemacht und beim zweiten mal Zugreifen auf einen Wert wird der ListBox-Eintrag rausgeworfen.
Das Problem ist hier, dass man bei einem solchen Sieb einen extremen Aufwand hätte ...und der RAM-Verbrauch eines Arrays[2..10^10] ist ja auch nicht ganz gering

mfG

Markus

[alzaimar]

Zitat:

Zitat von markusj

Mir ist es vor kurzem gelungen, den Aufwand für die Kontrolle einer ListBox/StringList nach doppelten Einträgen zu linearisieren^^.

Versuchs mal mit einer Hashmap, dann wird das nicht linearisiert, sondern bleibt bei O(1) (was Du vielleicht meintest). Bringt aber auch nichts. Imho bleibt die einzig sinnvolle Möglichkeit immer noch die, nach aussichtsreichen Kandidaten zu suchen (mit den einschlägig bekannten Verfahren) und die eben nach guter alter Brute-force Art zu überprüfen.

[Jasocul]

[quote="Luckie"]

Zitat:

Zitat von glkgereon

Nach unserem Wissen gibt keine höchste Primzahl.

Das würde ich nicht so laut sagen, denn wie du selbst sagst:

Zitat:

Wenn die Folge der Primzahlen irgendwann aufhören sollte (also es eine höchste gibt) so musst du mir das erstmal beweisen ;)
Und genau das ist eben bisher weder bewiesen, noch widerlegt worden.

Doch.
Annahme: N ist höchste Primzahl.
Man multipliziere alle Primzahlen bis N miteinander.
Dann addiere man 1.
Diese Zahl ist nicht durch die bisherigen Primzahlen teilbar!
Folglich ist sie selbst eine Primzahl oder es gibt andere Primzahlen außer den bisher bekannten.

Beweis durch Widerspruch. Mathe Grundstudium.

[markusj]

@alzaimar

Ne, so hab ichs nicht gemeint

In meiner ListBox sind durch den User bearbeitbare Koordinaten, die übersetze ich in mein Array, ist dort bereits eintrag vorhanden, habe ich eine Doublette und lösche sie. Die Information selbst bleibt in meiner Listbox gespeichert, ich verwende das Array nur zur Kontrolle auf Zwillinge.

mfG

Markus

PS: was meinst du mit O(1)
@Peter
PPS: Shit Roter Kasten: Hagen hat zu dem neuen Post etwas weiter unten einen Interessanten Beweis geliefert, der so ähnlich ging wie deiner, aber Wiedersprach (zumndest der verwendeten Formel)

EDIT: Oder sie ist durch 2 teilbar? Moment ...
Primzahl != Ungerade Zahl ... Ungerade Zahl*Ungerade Zahl := Ungerade Zahl, oder???
+1 := gerade Zahl. Gerade Zahl div 2 != 0 ... Was jetzt?

@alzaimar
EDIT2: Der Übersicht halber sortier ich nochmal um ...

[alzaimar]

@markusj:Das wird jetzt aber konfus... (Wer antwortet wem etc...)... O(1) bedeutet, das der Aufwand unabhängig von der Anzahl ist. Hashmaps haben die Eigenschaft, das sie immer gleich schnell sind, egal ob in der Liste nun 10 oder 100.000.000 Einträge sind.

[Loki77]

:wink:

Zitat:

Zitat von gsh

Also Primzahlen sind zahlen die nur durch sich selber oder durch eins teilbar sind.

Zusatz: laut taschenbuch der Mathematik (Brostein,....)
...Und GENAU 2 Ergebnisse haben.
--was ist denn dann mit "1"???
Klugscheisser der ich nun mal bin...

[markusj]

Eins ist nicht Prim ... es gibt immer nur 1

[Loki77]

Wissen aber die wenigsten...
In der Schule haben sie mir mal beigebracht die Primzahlen fangen mit 1, 3, 5 ,7 an..
Aber 2 ?

[markusj]

2 durch 2 = 1; 2 durch 1 = 2 ==> Prim
Und auf was für einer Schule warst du (nicht so gemeint). Ich habe gelernt, dass Primzahlen bei 2 anfangen.

mfG

Markus *MatheLK*

[Khabarakh]

Naja, spätestens wenn man mit der Primzahlzerlegung (6 Klasse?) anfängt, sollte einem auffallen, dass diese nur mit 1 als nichtprim und 2 = prim funktionieren kann ;) .

@Jascoul: Jaja, wir wissen es langsam :roll: .

[Loki77]

Hab letztens nur mal ´n altes Schulheft in der Hand gehabt...
Kann auch sein dass ich den Fehler selbst gemacht hab´.
P.S Die "2" war keine Frage, mehr ein Nachtrag zu Liste... :stupid:
Ist aber nicht die Thread-Frage, oder?

[negaH]

Zitat:

2 durch 2 = 1; 2 durch 1 = 2 ==> Prim

Aha,

4 durch 4 = 1; 4 durch 1 = 4 ==> Prim ???

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine Zahl die durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung darstellbar ist. Eine Primzahl ist eine Zahl deren eindeutige Primfaktorzerlgung nur aus sich selber und der 1 besteht.
Die 1 ist per Definition die Einheit.

Wäre die 1 eine Primzahl so würde:

Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl nicht mehr eindeutig sein, da zb. 2*1 == 2 aber auch 2*1*1*1==2 oder sogar 1*1==1 oder 1*1*1*1*...1 == 1 eine mögliche und mehrdeutige Faktorzerlegung wäre.

Ergo: wäre die 1 eine Primzahl so gäbe es keine Primzahlen, keine zusammengesetzten Zahlen und defakto hätten alle Zahlen den gleichen Wert ! Denn die eindeutige und meßbare Wertigkeit einer Zahl definiert sich aus deren Faktorzerlegung.

1 darf einfach keine Primzahl sein da ansonsten die Mathematik nicht mehr funktioniert. Da aber Mathematik sowieso nur eine reine Definitionssache ist, also basierend auf reinen Annahmen==Axiomen, ist es egal ob die 1 in der Realität eine Primzahl, nicht Primzahl, grün oder löchrig ist. Wir definieren einfach das die 1 keine primzahl ist da es uns am besten in den Kram passt ;)

Gruß Hagen

[Jasocul]

Zitat:

Zitat von Khabarakh

@Jascoul: Jaja, wir wissen es langsam :roll: .

Offensichtlich zu dem Zeitpunkt nicht. Und dein genervtes :roll: kannst du dir sparen, da alle anderen Hinweise einfach falsch waren. :roll:

[markusj]

@Hagen: das war Absicht, oder???
4/1 = 4, 4/2 = 2, 4/4 = 4 --> 3 Teiler die eine Zahl Element N ergeben!!!
Damit gibt es einen weiteren Teiler, Teilerzahl <> 2 --> nicht prim!!!!

[Nicolai1234]

Zitat:

Zitat von markusj

@Hagen: das war Absicht, oder???
4/1 = 4, 4/2 = 2, 4/4 = 4 --> 3 Teiler die eine Zahl Element N ergeben!!!
Damit gibt es einen weiteren Teiler, Teilerzahl <> 2 --> nicht prim!!!!

Das war ein Scherz wegen des Arguments aus dem Beitrag davor!

[negaH]

@MakrusJ:

nein das war kein Scherz so wie es Nicolai1605 anmeinerstatt behauptet.

Nehme doch mal dein Posting

Zitat:

Zitat von makrusj

2 durch 2 = 1; 2 durch 1 = 2 ==> Prim
Und auf was für einer Schule warst du (nicht so gemeint). Ich habe gelernt, dass Primzahlen bei 2 anfangen.

mfG

Markus *MatheLK*

und zerlege es in drei wichtige Abschnitte

1.) pseudo mathematische Aussage als Beitrag zum Thread

Zitat:

2 durch 2 = 1; 2 durch 1 = 2 ==> Prim

2.) sich lustig machen und im gleichen Satz wieder schell verstecken. Also nichts konstruktives zum Thread.

Zitat:

Und auf was für einer Schule warst du (nicht so gemeint).

3.) sich persönlich vorstellen und auf Mathe Leistungskurs explizit hinweisen, sprich seinen akademischen TITEL vorzeigen

Zitat:

mfG

Markus *MatheLK*

Naja, streichen wir mal auf Punkt 1.) zusammen, weil das der sinnvolle Teil ist

Zitat:

2 durch 2 = 1; 2 durch 1 = 2 ==> Prim

Und stelle dir mal vor das dein Mathe-Lehrer als Begründung für Primzahlen als Aussage diese Bemerkung hinhaut. Was willst du damit anfangen ?

Wenn du ehrlich bist dann wirst du sehen das dein Beitrag eigentlich überflüssig war. Informationstheoretisch am wichtigsten war die Erkenntis das du da bist.

Zitat:

Zitat von MakrusJ

@Hagen: das war Absicht, oder???
4/1 = 4, 4/2 = 2, 4/4 = 4 --> 3 Teiler die eine Zahl Element N ergeben!!!
Damit gibt es einen weiteren Teiler, Teilerzahl <> 2 --> nicht prim!!!!

Und weiter geht es im gleichen Stil. Mehrfache Satzzeichensetzung zur Betonung aber das Schlimmste ist:

Zitat:

@Hagen: das war Absicht, oder ???

Na Mensch, meinst du vielleicht ich verschwende meine Zeit indem ich hier in die DP reingehe, ein neues Posting eröffne und wahllos auf der Tastatur rumhämmere solange bis sich per Zufall ein sinnvoller Satz ergibt in dem ich aus Zufall deine Argumente hinterfrage ?

Oder meinst du das meine Postings sehr wohl davon zeugen das ich gezielt und bewusst meine Worte wähle und mir dementsprechend immer eine Absicht unterstellen kann ?

Sorry, aber ich bin ein bischen gereizt. Normalerweise würde ich garnicht darauf eingehen und Nicolai1605 an meiner Stelle anworten lassen (Nicolai hast du den Kaffe fertig, ich hatte dich schon vor 30 Minuten darum gebeten ?)

Gruß Hagen

[Gausi]

Man, da ziehts einem ja die Schuhe aus, was teilweise hier so erzählt wird...

Ein bißchen Algebra zum Thema Primzahl:
Ein Element x einer Gruppe heißt prim, wenn aus x = a*b folgt, dass a oder b eine Einheit ist. Ob man da nun ein "oder" oder ein "entweder oder" stehen hat, ist genauso Geschmacksache wie "gehört 0 zu den Natürlichen Zahlen oder nicht". Meistens nimmt man aber die Einheiten nicht dazu. Dabei ist a eine Einheit, wenn es ein Element a^-1 gibt, sodass a*a^-1=e. Dabei ist e das neutrale Element, für das gilt: e*x=x für alle x.

Im Falle der ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen sind aus mathematischer Sicht nichts, womit man vernünftig arbeiten kann ;-) ) ist das neutrale Element die 1 (denn 1*x=x), gibt es die Einheiten 1 und -1 (denn man bei keiner anderen ganzen Zahl durch Multiplikation mit einer anderen Zahl das Ergebnis 1 erreichen). Und eine Zahl p ist Primzahl, wenn aus p=a*b folgt, dass a oder b (meinetwegen: aber nicht beide) 1 oder -1 ist.

Die Primfaktorzerlegung von 5 ist nicht 5*1, sondern 5.

Und dass die Mathematik nicht mehr funktionieren würde, wenn man 1 als Primzahl ansieht, ist Quatsch. Wenn man dagegen z.B. das Vollständigkeitsaxiom bei der Definition der Reellen Zahlen weglassen würde, dann würde sich einiges ändern, aber nicht bei der Definition eines Begriffs.

[negaH]

Zitat:

Ein Element x einer Gruppe heißt prim, wenn aus x = a*b folgt, dass a oder b eine Einheit ist.

Schön gebrüllt.

Wenn 1 nicht Einheit wäre sondern prim ?

Zitat:

Ein Element x einer Gruppe heißt prim, wenn aus x =a*b folgt, das a oder b eine Einheit ist.
Da 1 keine Einheit ist sondern selber prim kann niemals der Fall x=a*b und a oder b ist die Einheit, auftreten.

Zitat:

Im Falle der ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen sind aus mathematischer Sicht nichts, womit man vernünftig arbeiten kann )

Aha. Dann vergessen wir einfach die natürlichen Zahlen und fragen uns was sind den reelle Zahlen ? Welche mathematische Grundlage besitzten sie denn ?

Zitat:

Und eine Zahl p ist Primzahl, wenn aus p=a*b folgt, dass a oder b (meinetwegen: aber nicht beide) 1 oder -1 ist.

Wenn das stimmt dann muß bei der Zahl 5 deren eindeutige Faktorzerlegung 5*1 sein, und zeigt damit sehr deutlich die Anwesenheit der Einheit an.

Zitat:

Die Faktorzerlegung von 5 ist nicht 5*1, sondern 5.

Aha, wie kannst du das logisch in einen Zusammenhang deiner vorherigen Aussage bringen ?

Zitat:

Und eine Zahl p ist Primzahl, wenn aus p=a*b folgt, dass a oder b (meinetwegen: aber nicht beide) 1 oder -1 ist.

Und mit dieser Aussage wäre demnach -5 auch eine Primzahl da deren eindeutige Faktorzerlegung -5 = 5 * -1 gelten würde. Aber ist 5 = -5 * -1 und -5 = -5 * 1 noch eindeutig ?

Du verallgemeinerst unzulässig.

Gruß Hagen

[Ratte]

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl mit genau 2 natürlichen Teilern p und 1. Fertig! Was diskutiert ihr die ganze Zeit solche aufwendigen konstruktionen wenn es so einfach geht?

etwas verwundert,
Ratte

[markusj]

@Hagen: Um einiges gerade zu rücken, was hier offenbar Missverstanden wurde ...
Wenn du etwas schlecht gelaunt bist, gut. Aber ich möchte mir hier eigentlich keine Wortgefechte mit dir oder jemand anderem liefern.
Meine "auf welcher Schule warst du denn" Äußerung war erstens als Scherz gemeint, und zweitens war die eher auf den Lehrer bezogen, der die Aussage 1 ist Prim gemacht hat.
So, der mathematische Teil war dass zwei Prim ist, weil sie nur durch 1 und sich selbst Teilbar ist ... ich bitte um Vergebung, weil ich nicht geschrieben habe, wie man eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt, bzw., warum ich keine weiteren Zahlen verwendet habe/erklärt habe, was passiert, wenn man eine Nichtprimzahl untersucht. Der Post war nur auf die Frage ob 2 Prim ist bezogen, ansonsten auf nichts.
So, wegen meinem "war das Absicht" ... das war auf den Umstand bezogen, dass du bei meinem vorherigen Post einfach die 2 durch eine 4 ersetzt hast, und damit das Resultat verfälscht hast. Ich denke, dass du mir in diesem Fachgebiet weit voraus bist, allerdings hast du meinen Post offenbar falsch interpretiert ... nur bei 2 gibt es nunmal keinen anderen Primfaktor, man kan nur durch 2 und 1 dividieren, es gibt nur 2 Divisionsergebnisse in N --> Prim
Ach ja, und wegen meinem LK: das war nur, um zu zeigen, dass ich in dieser Diskussion zumindest halbwegs Ahnung habe, weil ich von mir behaupten kann, in Mathe nicht der schlechteste zu sein ... um ganz einfach zu vermeinden, dass man mir Unfähigkeit vorwirft, wenn ich auf diese Art argumentiere ... im übrigen hast du das (quasi) getan.

mfG

Markus *derFriedenWill*

PS: Man schreibt sowohl mich als auch meinen Nickname "Markus" und nicht "Makrus" ... ich weiss nicht, ob aus Spßa oder aus versehen ... aber ich Spiele auch nicht mit deinem Namen, das muss nicht sein und ist, so denke ich, diesem Forum nicht würdig.

EDIT: Und wegen meiner Interpunktion ... das war, weil ich leicht gereizt auf deinen Post reagiert habe, und nicht verstanden habe, warum du meine Argumentation so verdreht hast.

[negaH]

Zitat:

Zitat von Ratte

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl mit genau 2 natürlichen Teilern p und 1. Fertig! Was diskutiert ihr die ganze Zeit solche aufwendigen konstruktionen wenn es so einfach geht?

etwas verwundert,
Ratte

ratte, dann erkläre doch bitte mal warum es so sein muß. Eine Weisheit nur wiederzugeben, quasi nur daran zu glauben, ist was anderes als sie als eine Notwendigkeit begründbar zu erfassen.

Also, warum meinst du das

Zitat:

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl mit genau 2 natürlichen Teilern p und 1. Fertig!

ist. Stelle dir vor ich oder besser wir hätten absolut keine Ahnung und begründe deine Aussage.

@Markus:

1.) Buchstabendreher, leider bin ich ein autodidaktischer Keyboardquäler und entweder meine Gedanken oder meine Finger sind schon wieder par gedanken weiter. Also keine Absicht das ich deinen Namen falsch geschrieben habe.

2.) ich habe mich zwischenzeitlich wieder beruhigt. Du solltest es nicht allzu persönlich nehmen und es einfach als Spinnerei meinerseits abtuen.

3.) Nein, ich habe nicht deine Argumentation falsch interpretiert noch verdreht, sondern im logischen Kontext fortgeführt. Eben einfach um dir zu zeigen "da fehlt doch was?"

4.) also zumindest mir gegenüber brauchst du dich nicht mit Titeln oä. rechtfertigen, das Einzigste was bei mir zählt ist dein Wissen.

Gruß Hagen

[DGL-luke]

Zitat:

Zitat von negaH

Zitat:

Zitat von Ratte

Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl mit genau 2 natürlichen Teilern p und 1. Fertig! Was diskutiert ihr die ganze Zeit solche aufwendigen konstruktionen wenn es so einfach geht?

etwas verwundert,
Ratte

ratte, dann erkläre doch bitte mal warum es so sein muß. Eine Weisheit nur wiederzugeben, quasi nur daran zu glauben, ist was anderes als sie als eine Notwendigkeit begründbar zu erfassen.

Das ist so definiert("Eine primzahl ist eine Zahl, dir nur durch sich selbst und 1 teilbar ist"). Das ist praktisch ein Axiom. "Und ein Axiom ist sowas wie ein Dogma in der Kirche" (Zitat Hr. Wolf, Mathe/Physik-Lehrer). und ein Dogma hinterfragt man nicht. Genauso könnte man 1+1 = 2 mit 1;2 € IN hinterfragen(das ist so definiert ;) ), oder "Der Papst ist [in Glaubensfragen, lt. 2. Konzil] unfehlbar".

Meine ich zumindest mit meinem ungeschulten Auge auf den ersten Blick zu erkennen...

PS: Ich an deiner Stelle wäre vorsichtig, nicht mit zweierlei Maß zu messen, negaH. Gutgemeinter Hinweis ;)
PPS: Nein, ich bin nicht katholisch. Aber mathematisch :mrgreen:

EDIT: post verändert.

[negaH]

Jaja, das dies ein Axiom ist ist mir schon klar.

Aber in diesem Thread hatte ich das Gefühl bekommen das man sich die Frage stellte "Warum?". Und einfach ein Axiom aufzustellen oder daran zu glauben bringt nichts (hat auch nichts mit zweierlei Maß zu tuen).

Denn ein Axiom aufzustellen hat einen Sinn und führt zu verschiedenen Konsequenzen. Unkonstruktiv empfinde ich es einfach solche Sachen in den Raum zu stellen, statt sie logisch über eine Beweisführung herzuleiten.

Denn wenn man das machen würde dann wäre klar das sich daraus auch die Fragen nach

- Warum ist 1 keine Primzahl ?
- Warum ist die eindeutige Faktorzerlegung der 5 exakt 5*1 und nicht nur 5 ?
- Warum gibt es keine negativen Primzahlen ?
- Warum ist -1 keine Einheit in den natürlichen Zahlen ?
- Warum gibt es unendlich viele Primzahlen ?
- Warum ist die Definition einer Primzahl so wichtig für die Mathematik ?
- Warum funktioniert unserer Mathemtik nicht mehr wenn wir dieses Axiom umstoßen oder verfälschen ?

beantworten lassen.

Gruß Hagen

[DGL-luke]

Es hat doch niemand Sachen behauptet. Du HAST aber das Axiom infrage gestellt. Natürlich kann - und muss - man die Folgerungen aus Axiomen auf logische Richtigkeit überprüfen.

Ach ja:

- Warum ist 1 keine Primzahl ? (*)
- Warum ist die eindeutige Faktorzerlegung der 5 exakt 5*1 und nicht nur 5 ? weils ne zerlegung ist und keine abschreibübung?
- Warum gibt es keine negativen Primzahlen ? weil Primzahlen nur in IN definiert sind?(ja, man kann auch erlären, dass negative Primzahlen "keinen Sinn" haben.. glaube ich...)
- Warum ist -1 keine Einheit in den natürlichen Zahlen ? ähm... weil 1 kein Element von IN ?
- Warum gibt es unendlich viele Primzahlen ? Induktion? hätte aber jetzt auch ka wie...
- Warum ist die Definition einer Primzahl so wichtig für die Mathematik ? ka.
- Warum funktioniert unserer Mathemtik nicht mehr wenn wir dieses Axiom umstoßen oder verfälschen ? gibt sicher n guten Grund dafür... im Allgemeinen eben: Axiome sind die Grundlagen der Mathematik. Wer ein Axiom kippt, kippt alle daraus abgeleiteten Folgerungen. Wer ein Axiom verändert, führt damit höchstwahrscheinlich Widersprüche herbei(das ist ja lles ein genau abgestimmtes System). Oder?

Ich freue mich auf Kommentare/Antworten :)


*) p = 1 * p mit p != 1? (Definition?!)

[Khabarakh]

Zitat:

Zitat von Jasocul

Zitat:

Zitat von Khabarakh

@Jascoul: Jaja, wir wissen es langsam :roll: .

Offensichtlich zu dem Zeitpunkt nicht. Und dein genervtes :roll: kannst du dir sparen, da alle anderen Hinweise einfach falsch waren. :roll:

Hmm...
#1
#2 (Verweis)
#3
Und letztendlich #4, vollständig von Hagen verbessert
Ein fünfter Hinweis auf die gleiche Beweisführung war nun wirklich nicht nötig.
Auch wenn es wohl manche immer noch nicht mitbekommen haben :mrgreen: :

Zitat:

- Warum gibt es unendlich viele Primzahlen ? Induktion? hätte aber jetzt auch ka wie...

@DGL-Luke: Ich glaube, du hast genau die Antworten geschrieben, die Hagen haben wollte ;) .

[moritz]

Moin!

Wenn jemanden von euch vor Allem die Anwendung von Primzahlen interessiert, empfehle ich Codes von Simon Singh, ein tolles Buch über Verschlüsslungen.

Back zum Thema:
@Tomislav: Was hast du denn mit der Primzahl vor? Geht es dir darum, das ganze zu ermitteln oder brauchst du einfach eine Primzahl für irgendein Programm? Die größte Primzahl wirst du nicht finden, das hat Euklid bereits bewiesen. Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen. Du nimmst diese (nennen wir sie mal p1, p2, ..., und pn, wobei pn die größte ist) und bildest das Produkt aus denen:

Code:

x = p1 * p2 * ... * pn

Damit bekommst du eine Zahl, die durch p1, p2, ... und pn teilbar ist. Schauen wir uns jetzt y = x + 1 darf, darf dies keine Primzahl sein, da diese ja endlich sind und allesamt kleiner als y sind. y ist also keine Primzahl.
Schaue ich mir dann die Primfaktorzerlegung von y an, erhalte ich - siehe da - lauter Primzahlen, die allesamt Teiler von y sein müssen. Da y aber durch keine unserer endlichen Primzahlen teilbar ist (sondern nur mit dem Rest 1), muss es eine weitere Primzahl geben, die nicht p1, p2, ... oder pn ist.

Soweit klar?

Eine größte Primzahl gibt es damit nicht, da wären wir wieder beim Thema Unendlichkeit angelangt. Das einzigste, was du machen kannst, ist zu versuchen, eine möglichst große Primzahl zu finden. Da wirst du aber, wie hier bereits gesagt wurde, nicht gegen Großrechner antreten können - Es sei denn, du entwickelst einen Algorithmus, der dir für n die n-te Primzahl ausspuckt, denn so ein wunderding gibt es bisher noch nicht. Es gibt zwar allerhand Wege, sehr wahrscheinlich Primzahlen zu finden, angefangen bei den Fermat-Zahlen (Gibt es außerdem einen wunderschönen Gegenbeweis, das der Weg falsch ist :) ), aber das Wundermittel wurde leider noch nicht erfunden.

So, hoffe, ich hab dir etwas geholfen!

Gruß

[DGL-luke]

aaahhhh ja....

Ich wollte ihm einfach mal meine unwissenheit darbieten...

aber gut, nachdem das ja alles schon dasteht... werd ich mir das mal zu gemüte führen.

//@Khabarak: Jetzt haben wirs noch einmal hier... :mrgreen:

[negaH]

Hm,

Zitat:

Schaue ich mir dann die Primfaktorzerlegung von y an, erhalte ich - siehe da - lauter Primzahlen, die allesamt Teiler von y sein müssen. Da y aber durch keine unserer endlichen Primzahlen teilbar ist (sondern nur mit dem Rest 1), muss es eine weitere Primzahl geben, die nicht p1, p2, ... oder pn ist.

Soweit klar?

ich bin damit nicht ganz einverstanden. In einem meiner Postings habe ich das auch nochmal klar geschrieben.
Denn wichtig ist bei solchen Sachen immer die möglichst genaue Wortwahl.

Und im obigen quote fehlt die entscheidende Aussage das das Produkt alelr bisher bekannten Primzahlen +1 zwangsläufig eine unbekannte Primzahl als teiler enthalten muß die größer als alle bekannten Primzahlen sein muß. Das ist wichtig denn nur so können wie die "Unendlichkeit" der Primzahlen beweisen. Denn wenn wir nun wiederum diese nun bekannte größte Primzahl benutzen und ein neues Produkt aller bekannten Primzahlen +1 erzeugen dann muß diese Zahl wiederum einen Teiler enthalten der größer als die größte bekannte Primzahl ist. Und wenn wir nun wiederum diese nun bekannte größte Primzahl benutzen und ein neues Produkt aller bekannten Primzahlen +1 erzeugen dann muß diese Zahl wiederum einen Teiler enthalten der größer als die größte bekannte Primzahl ist. Und wenn wir nun wiederum diese nun bekannte größte Primzahl benutzen und ein neues Produkt aller bekannten Primzahlen +1 erzeugen dann muß diese Zahl wiederum einen Teiler enthalten der größer als die größte bekannte Primzahl ist. Und wenn wir nun wiederum diese nun bekannte größte Primzahl benutzen und ein neues Produkt aller bekannten Primzahlen +1 erzeugen dann muß diese Zahl wiederum einen Teiler enthalten der größer als die größte bekannte Primzahl ist...

Naja macht ihr damit weiter :)

Auf alle Fälle ist jedes Wort wichtig !

Zitat:

Es hat doch niemand Sachen behauptet. Du HAST aber das Axiom infrage gestellt. Natürlich kann - und muss - man die Folgerungen aus Axiomen auf logische Richtigkeit überprüfen.

Stop mal: ich habe nicht das Axiom infrage gestellt, keineswegs. Sondern hier wurden Behauptungen aufgestellt die das Axiom in frage stellten oder sich darauf bezogen ohne den Sinn des Axiomes zu berücksichtigen noch zu erklären.

Ein Axiom mag zwar vielen Leuten als Begründung für igrendwas ausreichen (immerhin 90% der Menschen glauben an einen Gott), aber mir reicht dies nicht.

Alle obigen Fragen von mir stellen defakto die Begründung für das Primzahlaxiom ansich dar. Wird dieses Axiom gekippt kann die Mathemtik von vorne anfangen.

Zb. Faktorzerlegung: Normalerweise ist die Aussage das eine Primzahl das Produkt aus sich selber und der Einheit ist nicht wörtlich korrekt. Richtiger wäre die Aussage

Eine Primzahl hat eine Faktorenzerlegung in Primzahlpotenzen die nur aus sich Selber zum Exponenten der Einheit besteht.

Also 5 = 5^1.

Damit erklärt sich Gausi's Behauptung das 5 = 5 ist und nicht 5*1.
Allerdings ist dies eben nicht richtig weil 5 = 5^1 ist. Und diese 5^1 als formale Darstellung 5*1 ist.

Im Umkehrschluß ergibt sich daraus das die Faktorenerlegung einer zusammengesetzten Zahl sich aus reinen Primzahlpotenzen zusamensetzt. Wichtig dabei ist zu begreifen das die Einheit selber nur als Exponent vorkommen kann nicht also Multiplikant bzw. Basis, solange man es nicht formal umschreibt.

18 = 2^1 * 3^2.

Die -1 und alle negativen Zahlen werden durch diese Exponentialdarstellung von vornherein ausgeschlossen. D.h. die Sichtweise der Faktorenzerlegung als einfach Produktkette von Primzahlen ist einer "Ver-unschärtfung" des eigentlichen Primzahlaxiom die es dann zulässt das man mit -1 und negativen Primzahlen rechnen könnte.

Mir geht es hier also nur um klare und korrekte Aussagen, um eben einem Halbwissen vorzubeugen.

Also wenn eine Primzahl eine Zahl ist deren Faktorenzerlegung, also die Zerlegung in ein Produkt aus Primzahlpotenzen, nur aus der Potenz zu sich Selber zur Einheit besteht, so sind zusammengesetzte Zahlen Zahlen die sich aus einem eindeutigen Produkt aus mehreren Primzahlpotenzen zusammensetzen.

Dies schließt negative Exponenten wie die -1 von vornherein aus und negative Primzahlen indirekt ebenfalls. Denn gäbe es negative Primzahlen so könnten diese ebenfalls in den Exponenten der Potenzen einer Faktorzerlegung erscheinen, sowas hier x = 2^-3 * 3^-5 usw. und würde somit das Axiom wiederrum in Frage stellen.

Das Axiom der Primzahlen kann also nur für IN definiert sein und ist auch nur dort überhaupt von Interesse.

Gruß Hagen

[Jasocul]

Zitat:

Zitat von Khabarakh

Zitat:

Zitat von Jasocul

Zitat:

Zitat von Khabarakh

@Jascoul: Jaja, wir wissen es langsam :roll: .

Offensichtlich zu dem Zeitpunkt nicht. Und dein genervtes :roll: kannst du dir sparen, da alle anderen Hinweise einfach falsch waren. :roll:

Hmm...
#1
#2 (Verweis)
#3
Und letztendlich #4, vollständig von Hagen verbessert
Ein fünfter Hinweis auf die gleiche Beweisführung war nun wirklich nicht nötig.
Auch wenn es wohl manche immer noch nicht mitbekommen haben :mrgreen: :

Die ersten beiden Links willst du nicht allen ernstes Beweis nennen, oder?
Die letzten beiden Beiträge muss ich irgendwie übersehen haben. Sorry. Da hätte ich mir das wirklich sparen können.

[Gausi]

@Hagen: Sag mal bitte, auf welchem Niveau du argumentierst. Ist das nun Stammtisch-Mathematik, was du betreibst, hast du fundierte Mathekenntnisse aus der Schule oder vielleicht gar studiert?

Du fängst hier an, gegen Halbwissen zu wettern, bist aber auf der anderen Seite der Meinung, dass dir ein Axiom als Begründung nicht ausreicht. Das hat nichts mit Glauben zu tun, sondern mit einer allgemeinen Vereinbarung, die sich als sinnvoll herausgestellt hat. Ob aber nun 1 eine Primzahl ist oder nicht, dass hat nichts mit Axiomen zu tun, sondern ist Definitionssache. Genauso wie es Definitionssache ist, ob man 0 als natürliche Zahl ansieht oder nicht. Bei einigen Anwendungen ist es sinnvoll, die 0 zuzulassen, bei anderen nicht.
Ein Axiom der reellen Zahlen ist z.B. dass jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge von IR eine kleinste obere Schranke besitzt (in einigen Lehrbüchern kommt das auch als Satz. Man kann aber zeigen, dass dies mit dem Archimedischen Axiom und Vollständigkeitsaxiom äquivalent ist, so dass man diesen Satz anstelle der beiden anderen ebensogut als Axiom verwenden kann.) Es gab mal (gibt?) ein "Experiment", wo jemand eine "neue Mathematik" aufgebaut hat, indem er dieses Axiom nicht anerkannt hat. Kann man machen. Es hat sich aber gezeigt, dass die Mathe-Welt mit diesem Axiom die Wirklichkeit besser beschreibt. (afaik hat das auch was mit den Konstruktivisten zu tun, bin mir aber da nicht ganz sicher.)

Das mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Ich weiß nicht, wo du das aufgeschnappt hast, und wieso du jetzt auf so Kleinkram rumreitest. Ich hoffe, dir ist klar, dass das, was man in der Schule als eindeutige Primfaktorzerlegung kennenlernt, ein Spezialfall des Hauptsatzes der Arithmetik ist, der allgemein auf Hauptidealringen gilt. Um die Eindeutigkeit zu erreichen, muss man dabei die einzelnen primen Elemente (die "Primzahlen") in Äquivalenzklassen einteilen. Die Eindeutigkeit bezieht sich dann auf diese Äquivalenzklassen (z.B. wäre 5 und -5 in einer Äquivalenzklasse), nicht auf die einzelnen primen Elemente.
Der Satz, dass es eine eindeutige Primzahlzerlegung gibt, beschränkt sich dabei künstlich auf die natürlichen Zahlen, um die Schüler nicht unnötig zu verwirren. Es ist richtig, dass man im allgemeinen positive Zahlen meint, wenn man von Primzahlen spricht. Zahlentheoretisch gesehen ist das aber unnötig oder sogar fatal, weil die natürlichen Zahlen noch nichtmal ein Gruppe bilden (das ist das, was ich mit "nichts vernünftiges" oben meinte).

Was ich jetzt nicht noch verstanden habe ist, was das Primzahlaxiom ist...

Natürlich muss man in der Mathematik exakt sein und klar formulieren. Aber die Argumentation zum Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist absolut korrekt - einen logischen Fehler kann ich darin nicht erkennen. Man nimmt an, dass es endlich viele Primzahlen gibt, multipliziert alle auf und addiert dann 1. Das Ergebnis ist dann durch keine der Primzahlen teilbar (wir haben ja angenommen, das es nur diese endlich vielen gibt). Folglich wäre diese neue Riesenzahl auch eine Primzahl, was im Widerspruch zu der Annahme steht, dass wir alle Primzahlen bereits gefunden haben. Folglich ist die Annahme falsch, womit bewiesen wäre, dass es unendlich viele gibt.
Das ist ein absolut wasserdichter Widerspruchsbeweis.


Ich möchte mich übrigens korrigieren: Was ich oben als prim bezeichnet habe, ist die Definition für irreduzibel. Ein Element a heißt prim wenn: a|b*c => (a|b v a|c). Aus der Primeigenschaft folgt aber das, was ich oben fälschlicherweise als prim bezeichnet habe.

[negaH]

Zitat:

Natürlich muss man in der Mathematik exakt sein und klar formulieren. Aber die Argumentation zum Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist absolut korrekt - einen logischen Fehler kann ich darin nicht erkennen. Man nimmt an, dass es endlich viele Primzahlen gibt, multipliziert alle auf und addiert dann 1. Das Ergebnis ist dann durch keine der Primzahlen teilbar (wir haben ja angenommen, das es nur diese endlich vielen gibt). Folglich wäre diese neue Riesenzahl auch eine Primzahl, was im Widerspruch zu der Annahme steht, dass wir alle Primzahlen bereits gefunden haben. Folglich ist die Annahme falsch, womit bewiesen wäre, dass es unendlich viele gibt.
Das ist ein absolut wasserdichter Widerspruchsbeweis.

Dem stimme ich ja auch voll und ganz zu. Nur lese dir mal die vorherigen Postings ganz genau durch und du wirst sehen das man versucht hat auf Grund dieses Beweises eine "Formel" zur Erzeugung von Primzahlen zu erzeugen. Und ich habe nun versucht durch eine wörtliche Uminterpretation bildlich klarzumachen das dies falsch sein muß. Das man dazu nun nicht gleich mit matheamtisch korrekten Formeln und "Spezialwissen" kommen kann ist bei dem allgemeinen Niveau in der DP nur verständlich. Das hat nichts mit Überheblichkeit oder so zu tuen, sondern mit einer Notwendigkeit. Also auch wenn du oder ich es mathamtisch korrekt besser wissen stellt sich die Frage wie man es einem Laien verständlich rüberbringt. Dabei kann man nun versuchen alles, von Anfang an, zu erklären und so die komplette Mathematik hier erklären, oder aber man schraubt sein eigenes Niveau auf ein sinnvolles Maß runter und erklärt es nachvollziehbar. Es ist nun halt mal so das es viele Leute gibt die das Thema interessiert aber nicht alle Vorraussetzungen im Wissen besitzen. Sich dann hinzustellen und mit komplizierten, aber richtigen, mathematischen Wissen zu erklären finde ich unintelligent und im Grunde überheblich. Denn gerade ein Experte auf einem Gebiet muß sich nach unten hin anpassen und nicht davon ausgehen das alle Anderen nun ihr fehlendes Spezialwissen erstmal komplett aufbesseren müssen damit sie den Experten verstehen. Und mal ehrlich

Zitat:

Zitat von gausi

Man, da ziehts einem ja die Schuhe aus, was teilweise hier so erzählt wird...
Ein bißchen Algebra zum Thema Primzahl:

empfindest du dies als richtigen Einstieg ? Besonders im Hinblick das der nachfolgende Absatz mit doch schon komplizierten Erklärungen daherkommt ? Nochmals: lese den kompletten Thread und versuche mal einzuschätzen für WEN du deine Antwort da erstellt hast. Klar ich könnte unterstellen das du garkein Interesse daran hättest das andere Leute ein neues Wissen aufbauen können, sie also lernen können. Aber das tue ich nicht !


Nun zum akademischem Hintergrund. Nein ich habe Mathematik nicht studiert und das tut auch nichts zur Sache. Oder meinst du das nur ein Mensch mit akademischen Titel das Recht hätte über solche Themen zu diskutieren ?
Ich kann aber einige mathematische Kenntnisse auch im praktischen vorweisen, also rede nicht nur von der Theorie sondern auch Praxis. Siehe dazu mein DECMath das besonders zahlentheoretische Aspekte praktisch umsetzt. DECMath kannst du dir hier http://www.michael-puff.de/Developer...agen_Reddmann/ anschauen.

Zitat:

... dass dir ein Axiom als Begründung nicht ausreicht. Das hat nichts mit Glauben zu tun, sondern mit einer allgemeinen Vereinbarung, die sich als sinnvoll herausgestellt hat.

Das ist ja alles korrekt was du da sagst, aber es geht hier eben darum zu hinterfragen WARUM das so sinnvoll sein muß. Das Axiom als solches stellt keiner hier ernsthaft in Frage, es wäre aber fatal ein Axiom einfach als gegeben hinzunehmen ohne verstanden zu haben warum es existiert ! Das wäre nämlich Glauben und nicht Wissen warum.
Schau mal: mir geht es darum das wenn man ein Axiom verstanden hat, also nicht nur einfach hinnimmt, sich daraus automatisch bestimmte Erkenntisse ableiten. Diese neuen Erkentisse beantworten dann auch andere Fragen. Wir gehen also im Grunde den umgekehrten Weg wie diejenigen Mathmatiker die diese Axiome postuliert haben. Diese Leute hatten es weit schwieriger da sie ja aus den theoretisch/praktischen Erfordernissen einer funktionsfähigen Mathematik erstmal diese Axiome aufstellen mussten. Nun das was uns interessiert sind diese Gründe.

Zitat:

Zitat von Gausi

Das mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Ich weiß nicht, wo du das aufgeschnappt hast, und wieso du jetzt auf so Kleinkram rumreitest. Ich hoffe, dir ist klar, dass das, was man in der Schule als eindeutige Primfaktorzerlegung kennenlernt, ein Spezialfall des Hauptsatzes der Arithmetik ist, der allgemein auf Hauptidealringen gilt. Um die Eindeutigkeit zu erreichen, muss man dabei die einzelnen primen Elemente (die "Primzahlen") in Äquivalenzklassen einteilen. Die Eindeutigkeit bezieht sich dann auf diese Äquivalenzklassen (z.B. wäre 5 und -5 in einer Äquivalenzklasse), nicht auf die einzelnen primen Elemente.

Siehst du das meine ich. Ja mir ist klar wovon du redest immerhin ist sind solche Feststellungen die Grundlage der heutigen Kryptographie=Zahlentheorie. Aber meinst du das erklärt auf verständliche Weise das WARUM einem interssierten Laien ?

Gruß Hagen

PS: Kann es sein das du ein gläubiger Mensch bist ? Christ ?

[Gecko]

http://www.dsdt.info/grundlagen/sprache/variablen.php

Kann man mit Delphi überhaupt mit so grossen Zahlen Rechnen mit 1*10^10Mio ?

[negaH]

@Gecko

Zitat:

DECMath kannst du dir hier http://www.michael-puff.de/Developer...agen_Reddmann/ anschauen.

Es gibt aber noch andere solche Bibliotheken zb.
- NX von Marcewl Martin
- FGint
- Miracel, GMP usw. für C/C++

Gruß Hagen

[bubu_xtreme_xtra]

mfg. Tubos

Ich schreibe dass nur als Info für eine Aussage die von Tubos in der 1-ten Seite gemacht wurde, kann sein dass ihr dieses schon geklärt habt, lege auch eine url rein,
Die Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, .....,
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euklid
Gruss, xtreme

[Hador]

Öhm, dieses Thema ist schon ein halbes Jahr alt :wink:
Aber erstmal: Wilkommen in der DP, bubu_xtreme_xtra