[Mathe] Punktsymmetrie

[Namenloser]

Hallo, ich habe mal eine Mathe-Frage an euch.

Und zwar sitze ich hier gerade an einer Kurvendiskussion für die Funktion

f(x) = 3⋅sin(x) - 3⋅sin(x)⋅cos(x)

Nun steht in einem Aufgabenteil „Untersuche den Graph von f(x) auf Punktsymmetrie“. Ich kannte das bisher nur so, dass man die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt nachweisen soll. Wenn man sich den Graph (siehe Link) anschaut, erkennt man, dass dieser punktsymmetrisch zum allen Schnittpunkten mit der X-Achse ist (wenn ich nicht grad nen totalen Knick in der Optik habe), also P(π*n | 0) mit n ∈ ℤ.

Allerdings ist damit ja nicht formal bewiesen, dass es nicht noch weitere Symmetriepunkte gibt. Nun habe ich mich gefragt, wie man formal alle Symmetriepunkte finden kann und bin auf die Idee gekommen, dass ein solcher Symmetriepunkt nur in einem Wendepunkt liegen kann (zumindest bei einer überall differenzierbaren Funktion). Die Frage ist jetzt: Stimmt das? Mir fällt zumindest kein Fall ein, wo das nicht so ist, aber das muss ja nichts heißen.

Wenn das stimmen würde, wäre es recht komfortabel, da ich dann einfach die Wendepunkte, die ich bereits bestimmt habe, durchgehen könnte und jeweils gucken könnte, ob das Kriterium für die Punktsymmetrie erfüllt ist.

Danke im Voraus.

[MGC]

siehe mal Wikipedia:

Zitat:

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen [Bearbeiten]
Punktsymmetrischer Funktionsgraph

Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

\!f(a+x) - b= - f(a-x) + b

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt (a,b) vor. Die genannte Bedingung ist durch Substitution von x mit x − a gleichwertig zu

\!f(x) = 2b - f(2a-x)

Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu:

\!f(-x) = -f(x)

Ist sie für alle x gültig, liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor, das heißt f ist eine ungerade Funktion.

Vielleicht hilfts Dir weiter...

[Namenloser]

Danke, aber das hilft mir leider nicht weiter. Wie ich die Symmetrie zu einem Punkt nachweise, weiß ich, das Problem ist, dass ich den Punkt nicht habe.

[Thom]

Punktsymmetrie liegt dann vor, wenn -f(-x)=f(x) erfüllt ist.

Code:

-f(-x)=
-(3*sin(-x)-3*sin(-x)*cos(-x))=
-(-3*sin(x)+3*sin(x)*cos(x))= [da sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x)]
3*sin(x)-3*sin(x)*cos(x)=
f(x)

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Thom (Beitrag 1153008)

Punktsymmetrie liegt dann vor, wenn -f(-x)=f(x) erfüllt ist.

Code:

-f(-x)=
-(3*sin(-x)-3*sin(-x)*cos(-x))=
-(-3*sin(x)+3*sin(x)*cos(x))= [da sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x)]
3*sin(x)-3*sin(x)*cos(x)=
f(x)

Das wäre Punktsymmetrie zum Ursprung (also dem Punkt (0|0)). Die Funktion kann ja aber auch zu einem anderen Punkt symmetrisch sein (und ist sie auch, siehe Graph). Die Menge dieser Punkte ist was ich suche.

[Thom]

Die Aufgabe war:

Zitat:

Untersuche den Graph von f(x) auf Punktsymmetrie

Genau das habe ich Dir vorgerechnet. Ich weiß zufälligerweise, wovon ich spreche bzw. schreibe. Das ist Stoff Sek. II Gymnasium.
Schau einfach mal im Tafelwerk nach.

Ein einfaches Danke hätte gereicht...:wink:

P.S.:
Die Funktion kann an allen Nullstellen gedreht werden. Das wäre bei k*Pi. Dementsprechend wären die Symmetriepunkte {k*Pi,0}.

[Namenloser]

Danke für das Durchexerzieren der Rechnung, aber, so leid es mir tut, ist diese leider nicht die Antwort auf meine Frage.

Deine Rechnung weist nach, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0) ist, aber in der Aufgabenstellung steht nirgends was vom Ursprung. Es gibt auch Punktsymmetrien zu anderen Punkten als dem Ursprung. Nimm z.B. g(x) = (x-2)³. Diese Funktion wäre punktsymmetrisch zum Punkt (2|0). Und die Funktion aus der Eingangsfrage hat sogar unendlich Symmetriepunkte.

Zitat:

P.S.: Die Funktion kann an allen Nullstellen gedreht werden. Das wäre bei k*Pi.

Ich weiß, habe ich auch eingangs schon geschrieben. Die Frage ist, wie man formal darauf kommt. Natürlich kann man leicht nachweisen, dass die Funktion an allen Nullstellen punktsymmetrisch ist, aber damit ist ja nicht formal bewiesen, dass es nicht noch weitere Symmetriepunkte gibt.

[Thom]

Dann hast Du eine andere Mathematik als meine Schüler. :wink:
Die Untersuchung auf Punktsymmetrie innerhalb einer Kurvendiskussion beinhaltet den Nachweis, ob eine Funktion diese Eigenschaft besitzt oder nicht.
Die Frage war nicht: Bestimme alle Punkte, bei denen die Funktion f(x) punktsymmetrisch ist!

P.S.:
Doch: f(x+Pi)=-f(-x+Pi).
Kannst Du in jedes CAS eintippen und das antwortet mit true.
Du kannst ja auch die folgende Gleichung lösen:

Code:

solve(f(x+a)=-f(-x+a),a)
  sin(2*a-2*x)-2*(sin(a-x)-sin(a+x)*(cos(a+x)-1))=0

Viel Spaß...
In welcher Ausbildung befindest Du Dich? Gymnasium oder Studium?

[Medium]

Im Allgemeinen ist, wenn nicht anders angegeben, bei Punktsymmetrie in der Regel nur nach der zum Ursprung gefragt. Da würde ich also eher nochmals beim Lehrer nachfragen, ob er sich der Tatsache bewusst war, dass es bei einer periodischen Funktion eine Menge an Punktsymmetriepunkten gibt, bzw. ob er wirklich die Menge mit dieser Frage wissen will, oder doch nur die Aussage, ob punktsymmetrisch zum US oder nicht.
Wenn die Menge gefragt ist, ist der Nachweis der Periodizität unter Angabe der Menge der Nullstellen ausreichend - hier allerdings auch nur, weil pro Periode nur eine NS auftaucht. Wenn ich das aber richtig einschätze, ist wirklich nur nach dem US gefragt.

[Thom]

@Medium :thumb:

[Namenloser]

Naja, in der Stunde, bevor wir diesen Übungszettel bekommen haben, ging es gerade noch mal um das Auflösen von trigonometrischen Funktionen, und explizit auch darum, dass diese mehrere Lösungen haben. Deshalb ging ich davon aus, dass hier auf jeden Fall auch mehrere Punkte gefragt sind.

@Thom: Das Problem ist halt, dass die Aufgabenstellung schwammig ist. Normalerweise kenne ich die Aufgaben auch so wie von dir beschrieben, dass man die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt, meist dem Ursprung, nachweisen soll. Wenn diese Aufgabe in einer Klausur drankäme, würde ich aus Zeitgründen natürlich auch mit dem Schaubild argumentieren, und dann für die Symmetriepunkte, die man ablesen kann, die Symmetrie noch mal rechnerisch nachweisen. Aber es muss doch auch einen sauberen Weg geben, der nicht darauf basiert, dass unser Gehirn Symmetrien in einer Darstellung erkennt ;)

[edit]
Ich bin in der 13. Klasse und schreibe in ein paar Wochen Abitur. CAS dürfen wir in der Schule leider nicht benutzen.
[/edit]

[Thom]

Aha - na dann erst mal viel Erfolg bei den Prüfungen!

Also in meinem Bundesland ist es wirklich so, daß bei der Frage nach der Punktsymmetrie die Schüler die Gleichung f(x)=-f(-x) und dementsprechend die Symmetrie zum Koordinatenursprung untersuchen müssen. Das gilt sowohl für den Grund- als auch den Leistungskurs.
Da Ihr kein CAS nutzen dürft, muß die Aufgabe schriftlich zu lösen sein. Das schließt die Ermittlung aller Symmetriepunkte von vornherein aus. Auf den Nachweis der Symmetrie gibt es meist auch nur eine BE. Wie lange willst Du dafür rechnen?

[Namenloser]

Danke!

Wenn das im Abitur käme, würde ich mich daran natürlich nicht so lange aufhalten ;). Aber wenn meine Theorie stimmt, dass Symmetriepunkte immer auch Wendepunkte sind, müsste man ja auch nur für zwei Punkte die Symmetrie beweisen: Den Ursprung und den Wendepunkt (pi | 0). Dass die Funktion eine Periodizität von 2pi hat, ist ja bekannt. Deshalb wollte ich halt gerne wissen, ob diese Theorie stimmt oder nicht.

[Thom]

Sollte nicht stimmen. Gegenbeispiel: f(x)=x. Ist punktsymmetrisch, besitzt aber keine Wendestelle.

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Thom (Beitrag 1153027)

Sollte nicht stimmen. Gegenbeispiel: f(x)=x. Ist punktsymmetrisch, besitzt aber keine Wendestelle.

Hmm, ok, stimmt. Ich rette das ganze mal zu: Für einen Symmetriepunkt muss die notwendige Bedingung einer Wendestelle erfüllt sein (2. Ableitung = 0). Das ist hier nämlich auch der Fall.

[MGC]

@Thom: Oft sieht man das Einfache nicht, obwohl es direkt auf einer Geraden vor einem liegt. Super Beispiel. :thumb:

[Thom]

@MGC: Danke! :-D

@NamenLozer: Für f(x)=x ist aber f''(x) auch 0... :gruebel:
Gilt übrigens auch für f(x)=0, f(x)=-x und alle anderen linearen Funktionen mit f(x)=m*x. Die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle trifft nämlich nicht zu: f''(x)=0 und f'''(x)<>0.

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Thom (Beitrag 1153035)

@NamenLozer: Für f(x)=x ist aber f''(x) auch 0... :gruebel:
Gilt übrigens auch für f(x)=0, f(x)=-x und alle anderen linearen Funktionen mit f(x)=m*x.

Korrekt, die sind ja auch alle punktsymmetrisch zu jedem Punkt auf der Geraden. Bei einer linearen Funktion gilt f''(x)=0 schließlich überall, somit passt das auch.

Zitat:

Zitat von Thom (Beitrag 1153035)

Die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle trifft nämlich nicht zu: f''(x)=0 und f'''(x)<>0.

Ja, das habe ich nach deinem Beispiel ja auch gemerkt. Deshalb habe ich in meinem letzten Post meine Theorie korrigiert und mich auf die notwendige Bedingung beschränkt.

[Thom]

Aber genau dann, wenn Du Deine Theorie auf die notwendige Bedingung für Wendestellen reduzierst, komme ich mit den linearen Funktion und widerlege sie.

Wenn Du aber die hinreichende Bedingung nimmst, sollte es auf den ersten Blick funktionieren: Symmetriestelle -> Wendestelle.
Berechnest Du jetzt alle Wendestellen einer Funktion und testest sie auf Symmetrie, gehen Dir trotzdem Symmetriestellen(-punkte) verloren - zum Beispiel bei f(x)=tan(x+Pi/2). Diese Funktion ist punktsymmetrisch (es gilt wieder f(x)=-f(-x)) - sie ist aber für x=0 gar nicht definiert. Also liegt der Symmetriepunkt nicht auf der Funktion und kann somit auch kein Wendepunkt sein.

[UliBru]

Zitat:

Zitat von NamenLozer (Beitrag 1153023)

Naja, in der Stunde, bevor wir diesen Übungszettel bekommen haben, ging es gerade noch mal um das Auflösen von trigonometrischen Funktionen, und explizit auch darum, dass diese mehrere Lösungen haben. Deshalb ging ich davon aus, dass hier auf jeden Fall auch mehrere Punkte gefragt sind.

Vermutlich gab es bei den trigonometrischen Funktionen mehrere Lösungen, aber eine endliche Anzahl davon. Bei dem Beispiel der Punktsymmetrie gibt es doch unendlich viele Lösungen für alle x. Ich denke da will kein Lehrer nun die genaue Anzahl wissen.

[Desmulator]

Ansatz:
f(a+x) - b = f(a-x)+b
Alle zu untersuchende Punkte sind P(x, f(x)), somit
f(x+x) - f(x) = f(x-x) + f(x)
f(2x) - 2f(x) = f(0)
3 sin(2x) - 3 sin(2x) cos(2x) - 6 sin(x) - 6 sin(x) cos(x) = 0
Mit sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) und cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) ergibt sich
3 * 2 sin(x) cos(x) - 3 ( 2 sin(x) cos(x) ) ( cos²(x) - sin²(x) ) - 6 sin(x) - 6 sin(x) cos(x) = 0
Zusammenfassen
-6 ( sin(x) cos(x) ) ( cos²(x) - sin²(x) ) - 6 sin(x) = 0
Klammer lösen, ausmultiplizieren, durch -6 teilen
sin(x) cos³(x) - cos(x) sin³(x) + sin(x) = 0
Ist null wenn sin(x) = 0 und das ist bei n π mit n als natürlich zahl.
Somit liegen die Symmetriepunkte bei S(n π, f(n π)).
Für alle n ist f(n π) = 0, d.h. S(n π, 0).
Also genau dort wo die vorher vermuteten Punkte liegen.

[Namenloser]

@Desmulator: Danke, so ähnlich hatte ich es auch erst versucht, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man das wirklich machen darf:

Zitat:

f(a+x) - b = f(a-x)+b
Alle zu untersuchende Punkte sind P(x, f(x)), somit
f(x+x) - f(x) = f(x-x) + f(x)

Denn eigentlich geht es ja hier um zwei verschiedene x. Einmal das x des Symmetriepunktes und einmal das allgemeine x.

@UliBru: Nein, es ging um trigonometrische Funktionen mit unendlich Lösungen der Form

            cos(x) = a
⇒      x₁ = arccos(a) + 2pi*n; n ∈ ℤ
            x₂ = −arccos(a) + 2pi*n; n ∈ ℤ

@Thom: Ok, Symmetriepunkte, die nicht auf der Funktion liegen – daran hatte ich nicht gedacht. Ok, somit wäre das geklärt, danke :thumb:

Zitat:

Aber genau dann, wenn Du Deine Theorie auf die notwendige Bedingung für Wendestellen reduzierst, komme ich mit den linearen Funktion und widerlege sie.

Wie das meine These widerlegt, sehe ich allerdings immer noch nicht, aber ist ja jetzt auch irrelevant.

Ich habe übrigens heute noch mal nachgefragt, und anscheinend reicht es, die Symmetriepunkte an der Zeichnung abzulesen und dort die Symmetrie nachzuweisen.

[Thom]

Da stimme ich Deinem Lehrer zu. So erkläre ich es auch immer: Zuerst die Funktion in den Taschenrechner eingeben, anzeigen lassen (falls er grafikfähig ist), dann überlegen, welche Symmetrie zutreffen könnte und anschließend per Rechnung überprüfen.

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Thom (Beitrag 1153152)

Zuerst die Funktion in den Taschenrechner eingeben, anzeigen lassen (falls er grafikfähig ist)

Sowas ist leider zu modern für unsere Schule :roll:

[Thom]

Oh je... :shock:
Da nehme ich doch lieber einen Nspire CX CAS.

[MGC]

Endlich habe ich einen Lehrer gefunden der die Zusammenhänge zwischen Mathematik und Realität in den Fordergrund stellt. Das hätte mir zu Schulzeiten nicht nur einiges erleichtert (konnte mit Physik, Informatik und Chemie immer mehr anfangen, da ich in diesen Fällen meine Berechnungen anhand der Realität besser nachvollziehen konnte), sondern auch ehrlich gesagt mehr Freude am Lernen bereitet.

Schade, hab mein Abi bereits in '95 gemacht. :)