Koeffizienten eines Polynoms berechnen

[DelphiManiac]

Hallo,

ich habe eine Frage, die ihr mir eventuell beantworten könnt.

Wir kalibrieren Industrie-Geräte für Temperatur, Durchfluss, CO2 etc.

Für die Berechnung gibt es 2 Möglichkeiten.

1. Man legt eine Tabelle an, die die Werte eindeutig zuweisen
2. Man fährt gewisse Punkte an und errechnet sich daraus ein N-Stelliges Polynom

Meine Frage geht nun zu Punkt 2.

Angenommen ich habe eine Messwertkurve und will daraus die Koeffizienten berechen, wie mache ich das?
Dafür gibt es ja Programme (kennt ihr ein gutes?)

Excel kann dies ja auch über die Trendkurve ein Polynom berechnen.
Es gibt ja mehrere Mathematische Ansätze, aber gut kenne ich mich da nicht aus:
-Horner Schema
-Polynominterpolation
-Polynomregression

Ich will im Prinzip über N-Messwerte ein Polynom (n-Grades) bekommen, so dass ich
nur eine Formel in der Firmware brauch und mit x reinzugehen.

Viele Dank
Gruß
DM

[jfheins]

Du hast erstmal 2 Mögliochkeiten (die du auch schon angesprochen hast)

:arrow: Interpolation duch ein Polynom

:arrow: Interpolation duch eine Spline ("Tabelle")

Je nach der Kurve die du annähern möchtest, kann es Probleme mit dem Polynom geben - die Funktion wird u.U. sehr schlecht angenähert (klick)

Aber im Normalfall (monton steigend/fallend, geringe Krümmung) ist das Polynom schon sehr gut. (Oft bereits mit niedriger Ordnung)


Wikipedia hat dazu einen guten Artikel mit basic-beispielcode ;)

Zu den Begriffen, die du um dich geworfen hast:

-Horner Schema
:arrow: Rechnet den Funktionswert f(x) schnell aus
-Polynominterpolation
:arrow: Berechnet aus vorgegebenen Wertepaaren ein Polynom dass diese möglichst gut approximiert
-Polynomregression
:arrow: Öhhh .... noch nie gehört, vll. n Synonym :gruebel:

[HenKst]

Hi

Also mit interpolation wird das wohl nix, weil interpolierte Polinome bei kleinen Ungenauigkeiten(die bei Messwerten nunmal vorkommen) anfangen wie wild durch die Gegend zu springen.

Für Approximation könntest du dir mal die Linear Curve Fitting Unit anschaun
(an der hab ich zwar mitgeschrieben, bin aber nichtmehr im Thema drin^^)

hier sollte die Matrix unit liegen

Zitat:

-Polynominterpolation
Arrow Berechnet aus vorgegebenen Wertepaaren ein Polynom dass diese möglichst gut approximiert

ist nicht ganz richtig.
Was du beschreibst ist Approximation(wie du ja auch sagst^^)bzw regression auf englisch ;)

Interpolation berechnet eine Kurve die genau durch die angegebenen Werte geht, wobei der Rest beliebig abweichen kann.

GreeZ HenKst

[DelphiManiac]

Hey Danke für eure Antworten!!

Die Unit gucke ich mir mal an.

Kennt ihr denn ein fertiges Programm, welches dieses Leistet?

Also mit Wertepaaren füttern und dann die Koeffizientenbilden? (und am Besten noch grafisch darstellen)?

Gruß
DM

[jfheins]

Zitat:

Zitat von HenKst

Zitat:

-Polynominterpolation
Arrow Berechnet aus vorgegebenen Wertepaaren ein Polynom dass diese möglichst gut approximiert

ist nicht ganz richtig.
Was du beschreibst ist Approximation(wie du ja auch sagst^^)bzw regression auf englisch ;)

Interpolation berechnet eine Kurve die genau durch die angegebenen Werte geht, wobei der Rest beliebig abweichen kann.

Nja, okay :mrgreen:

Wenn es keine großartig gekrümmte Kurve ist, böte es sich an, auch bei 100 Messwerten ein Polynom 3. Grades zu verwenden - das trifft dann zwar nicht mehr alle Punkte, aber als Approximation sollte es reichen ;)

Also Approximation statt Interpolation :stupid:

@Programm: Exel hattest du ja schon angesprochen :mrgreen:

[HenKst]

hm naja wirklich fertig ist das Programm zwar nicht aber ich lads trotzdem mal hoch^^

Benutzung

Points/Formulas:

links kannst du angeben welche funktion du benutzen willst, polynom sollte erstmal reichen

der load knopf läd punkte textdateien die in etwa so aussehen
1 10
2 100
3 1000
4 10000
5 100000

und der solve knopf löst die gleichung(bzw versuchts ;) )

Punktecounter: gibt an wieviele Punkte du eingeben willst, erzeugt entsprechend viele Eingabefelder
Anzeigecounter: gibt an wieviele errechnete Punkte ausgegeben und auf der graphic gezeichnet werden
Residium: zeigt die genauigkeit an: 0 = passt; >0 passt schlechter; <0 bug^^
NonLinear: gibt die Anzahl der nicht linearen parameter an(brauchst du für polynome nicht)
Linear: gibt die Anzahl der linearen Parameter an, wenn das gleichviele sind wie angegebene Punkte wird interpoliert, wenn es weniger sind approximiert (mehr geht nicht^^)

Results:
zeigt wenn ich mich recht erinnere die koefizienten an^^

Graphic:
graphische Darstellung der funktion


Programm ist aber wie gesagt unfertig und nicht durchgetestet

[DelphiManiac]

@HenKst

Danke für dein Tool,

habs mal ausprobiert und scheint (auf den ersten Blick) richtig zu funktionieren.
Allerdings wollte ich jetzt mal ein paar Versuchsreihen starten und deshalb suche ich ein Tool, dass
schon "ausgereift" ist um die Ergebnisse zu bewerten.

Aber dein Prog geht schon genau in die Richtung...

Vielen Dank

[HenKst]

Also ich denke schon das die Ergebnisse richtig sind.
Was nicht fertig ist ist die Oberfläche, Fehlermeldungen etc
Darum ist es für professionellen Gebrauch vermutlich momentan nicht geeignet :)

[BAMatze]

Hallo erstmal,

ich bin in Mathe zwar nicht mehr ganz so fit, aber ich möchte mal etwas als Denkanstoß einwerfen. Ich glaube mich erinnern zu können, dass diese Polynome nur Näherungskurven für die vollständige und eigentliche Funktion darstellen und zwar für einen bestimmten Bereich. außerhalb dieses Bereiches kann der Wert extrem abweichen. Zum 2. (ich weiß ja nicht ob ihr die Kurve vieleicht einfach nur mal darstellen wollt oder auch Rechnungen damit anstellt oder diese Funktion an die Besitzer der kalibrierten Geräte abgebt) ist eine Funktione, die der Genauigkeit in dem entsprechenden Bereich wiedergibt, ein Polynom mit sehr hohem N-Grad. Die Frage ist also, kann man das jemanden zumuten.
Wenn du genaueres darüber wissen möchtest dann schau mal nach dem ISO-Leitfaden "Guide to the Expression of uncertainty in measurement" (GUM).

Viel Glück

[WS1976]

Hallo jFHeins,

Zitat:

Wenn es keine großartig gekrümmte Kurve ist, böte es sich an, auch bei 100 Messwerten ein Polynom 3. Grades zu verwenden - das trifft dann zwar nicht mehr alle Punkte, aber als Approximation sollte es reichen

Ich halte diese Aussage für vermessen. Ein Polynom 3.Grades trifft exakt 4 Punkte mehr nicht. Alles andere ist Zufall.
Zusatzbetrachtungen sind nötig um abschätzen zu können wie gross die Abweichung tatsächlich ist.
Eine exakte Kurve kriegst du nur wenn du ein Polynom 99. Grades nimmst.
Es gibt aber darüber hinaus jede Menge mathematische Methoden mit denen man Schmiegparabeln (Näherungskurven) berechnen kann.
Z.B. Taylor Reihe usw. Das selbst zu programmieren sollte kein allzu grosses problem dartstellen.

Grüsse
Rainer