Unendlich <> Unendlich!

[BUG]

Zitat:

Zitat von NamenLozer (Beitrag 1060482)

Was ist (-∞)^∞?

Nicht definiert?

Wenn gammatester behauptet, das die genannten Regeln widerspruchsfrei sind, kann man das prüfen (bzw. beweisen/widerlegen), ABER man kann dafür nicht einfach einfach auf das zurückgreifen, was wir über R wissen.

Bis jetzt hat noch niemand gefordert (ist vielleicht auch nicht zu empfehlen :mrgreen:), dass (R#,+,*) ein Körper oder Ring sein soll, noch dafür irgendwelche anderen tolle Regeln gelten sollen (zB. a^b mit a, b € R# ist definiert als ...).

[mkinzler]

Wenn R für rationale Zahlen steht, dann handelt es sich ja um einen vollständig geordneten Körper

[gammatester]

Zitat:

Zitat von BUG (Beitrag 1060488)

Zitat:

Zitat von NamenLozer (Beitrag 1060482)

Was ist (-∞)^∞?

Nicht definiert?

Wenn gammatester behauptet, das die genannten Regeln widerspruchsfrei sind, kann man das prüfen (bzw. beweisen/widerlegen), ABER man kann dafür nicht einfach einfach auf das zurückgreifen, was wir über R wissen.

Es ist ja nicht so, daß ich das als einiziger behaupte, vgl ua den genannten Wiki-Arikel. Man wird halt in eine Diskussion reingezogen.

Als Pascal/Delphi-Programmierer haben wird ja auch fast ein komplettes Modell mit FPU und IEEE-Arithmetik, mit einigen Einschränkungen (nur endlich viele Zahlen, Addition nicht assoziativ für manche Ausdrücke etc).

Zitat:

Zitat von mkinzler (Beitrag 1060501)

Wenn R für rationale Zahlen steht, dann handelt es sich ja um einen vollständig geordneten Körper

Nein, R wurde oben als Körper der reellen Zahlen benutzt, ich habe R# als R+{∞,-∞} zur Unterscheidung verwendet, Wiki schreibt zB R mit Querstrich.

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060472)

Trotzdem wird die Diskussion doch langsam langweilig. Ich fasse zusammen: In R und R# sind eine Operationen nicht definiert. Man kann widerspruchsfrei mit +-INF rechnen.

Ja, es ist langsam langweilig (insb., da wir inzwischen mehr Ausnahmen als Operationen haben), und es tut mir leid, ich machs nicht interessanter. Wenn du von Systemerweiterung sprichst, bedeutet das dass die neuen Regeln mit den bisherigen den Axiomensystemen, die (R, +, *) beschreiben, nicht im Widerspruch stehen dürfen. Nehmen wir bspw. Tarski's zweites Axiomensystem zur Beschreibung von (R, +, *), nachzulesen in "Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences", Seite 217, dort steht bspw. als 8. Axiom:
∀x∀y∃z . x = y + z
Du willst nun ein Axiom hinzufügen, sodass
∀y . !(y = -∞) -> ∞ = y + ∞
Dies liegt eindeutig im Widerspruch zu Tarskis Axiom.
Wir wählen x = 1, y = ∞ [1]
folgich:
∃z . 1 = ∞ + z
Gezwungenermaßen muss ein entsprechendes z existieren. Wir unterscheiden 2 Möglichhkeiten:
z ist eine reelle Zahl. Damit kommen wir aber auf
1 = ∞ + z = ∞
was offensichtlich ein Widerspruch ist, oder aber
z = -∞
was in einer "ungültigen Operation" resultiert, womit es kein z gibt das das 8. Axiom erfüllt.
Aufrund LEM gilt somit: dein Axiomensystem ist bewiesenermaßen inkonsistent.

[1] Es funktioniert für alle x wenn !(x = ∞)

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060513)

Es ist ja nicht so, daß ich das als einiziger behaupte, vgl ua den genannten Wiki-Arikel. Man wird halt in eine Diskussion reingezogen.

Mag sein, aber wenn man Behauptungen vertritt, muss man sie auch verteidigen können. Zudem würde ich mich nicht so sehr auf die Korrektheit verlassen, insb. bei solchen Artikeln. Fachbücher sind eine deutlich bessere Referenz.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060513)

Nein, R wurde oben als Körper der reellen Zahlen benutzt, ich habe R# als R+{∞,-∞} zur Unterscheidung verwendet, Wiki schreibt zB R mit Querstrich.

Mengen erweitern kann man immer, das ist aber auch sehr langweilig. R + { Gugelhupf, Linzertorte } ist absolut gültig, aber nur von geringer Bedeutung.
Wenn man aber anfängt, Operationen darauf zu beschreiben, erweitert man nicht die Mengen, sondern die Tupel aus Mengen und Operatoren. Wenn man dann bspw. der Menge ein Element hinzufügt, muss der Operator entsprechend erweitert werden. Dies darf aber nicht zu einem Widerspruch führen.
Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet. Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle, oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Ja, es ist langsam langweilig (insb., da wir inzwischen mehr Ausnahmen als Operationen haben), und es tut mir leid, ich machs nicht interessanter.

Ja leider, außerdem gibt's pro primärer Operation nur ein Ausnahme: x + (-x) für Addition und 0*x für Multiplikation mit x = +-∞. Falls Du noch die Division betrachten willst auch noch +-∞/+-∞, aber dafür kann man die unendlichvielen Ausnahmen r/0 beseitigen.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet.

Nein, mit (R#,+,*).

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle,

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

Ich sehe keinen Widerspruch, da sich Deine Argumenation auf eine andere Struktur bezieht, denn niemand will beweisen oder axiomatisch fordern, daß ∞ eine relle Zahl ist. (So wie niemand behauptet, daß es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat < 0 ist. Und trotzdem finden es einige sinnvoll mit solchen Zahlen zu arbeiten.)

[jfheins]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060540)

Ja leider, außerdem gibt's pro primärer Operation nur ein Ausnahme: x + (-x) für Addition und 0*x für Multiplikation mit x = +-∞. Falls Du noch die Division betrachten willst auch noch +-∞/+-∞, aber dafür kann man die unendlichvielen Ausnahmen r/0 beseitigen.

Es ist nunmal so, dass sich der Raum R mit den bekannten Operationen als sehr sinnvoll erwiesen hat. Wenn du nun Elemente hinzufügen willst, ist es daher wichtig dass die bisherigen Regeln weiter gelten oder dass der neue Raum enorme Vorteile bietet. (Enorme Vorteile z.B. bei Matrizen, dafür gilt das Kommuntativgesetz nicht mehr) Sonst ist das wie mit der Menge

Zitat:

R + { Gugelhupf, Linzertorte }

die ist zwar ganz nett aber nicht sinnvoll. Da die bisherigen Operationen nicht mit den neuen Elementen umgehen können, müssen neue Regeln definiert werden. Und einen nutzen bringt das ganze trotzdem nicht.
Ähnlich ist die Menge R# : Es müssen viele neue Regeln definiert werden, mit marginalem Zusatznutzen. Und diese Regeln vertragen sich nicht mit den bisherigen!
z.B. gilt in R folgendes:
1+x > x für alle x in R
das gilt für R# nicht mehr (für x = INF insb.)

Zitat:

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Ob etwas Sinn macht und ob etwas mathematisch korrekt ist sind 2 grundlegend verschiedene Paar Schuhe.
Sinn macht z.B. folgendes:

Zitat:

integral (x * dx/dt) dt
lässt sich kürzen zu:
integral x dx

Mathematisch korrekt ist das nicht - aber es funktioniert ;)

Also lässt sich sagen: Die "Erweiterung" von R auf R# macht in manchen Fällen praktisch Sinn, mathematisch ist sie aber überflüssig und daher unsinnig. Da aber Rechner nicht die Perfektion der Mathematik sind (sonst könnten sie ja reelle Zahlen 1:1 abbilden ...) machen solche Shortcuts begrenzt Sinn.
Dann darf man aber nicht mit diesen Gebilden wieder in die Mathematik zurückkommen und sagen "OMG es gibt zwei verschiedene Arten von unendlich" oder "1/0 ergibt bei mir unendlich - kann man das mathematisch beweisen?"

[JasonDX]

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

(Auf den restlichen Beitrag antworte ich, nachdem die erste Frage geklärt ist. Wenn zwei Teilnehmer von widersprüchlichen Annahmen ausgehen, diskutiert sichs schlecht ;) )

greetz
Mike

[Bummi]

:o scheint eine ∞ lange Diskussion um ein ∞ philosophisches Thema zu werden.

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060588)

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

Deine Frage ist ziemlich sinnlos, weil die Menge R#\{-∞,∞} naürlich R ist und mit den auf R unveränderten Operation + und * einen Körper bildet. Aber ich werde nicht weiter an dieser Diskussion teilnehmen, weil offensichtlich kein Interesse an dem -gar nicht von mir angestoßenen- Thema besteht, wir schon ziemlich vom Originalbeitrag abgedriftet sind, und mit ziemlich unsinnigen Argumenten hantiert wird: zB ist es mM irrelevant, daß (jfheins) 1+x > x für alle x aus R gilt, aber nicht für alle x aus R#. Das gleiche trifft auch auf C zu, ohne daß das die komplexen Zahlen irgendwie abqualifiziert (und interessanterweise gilt 1+x=x ebenso für manche endliche IEEE-Zahlen, und 1+x>x gilt schon deshalb für die meisten anderen geläufigen Körper nicht, weil es dort gar kein < gibt.).

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060588)

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

Deine Frage ist ziemlich sinnlos, weil die Menge R#\{-∞,∞} naürlich R ist und mit den auf R unveränderten Operation + und * einen Körper bildet.

Die Frage ist keineswegs sinnlos. Wie dahinter beschrieben gings mir darum, ob + und * neu definiert werden, d.h. ein anderes Verhalten beschreiben könnten als die "gewöhnliche" Addition/Multiplikation der rellen Zahlen oder einfach diese einfach nur erweitern.
Die Frage stellt sich deshalb: Wären * und + anders definiert, könnte man Tarskis Axiome darauf nicht anwenden, und vllt. würde das auch keinen Widerspruch geben - das hinge dann von der Definition von + und * ab. So aber bilden die gegebenen Rechenregeln einen Widerspruch, wie bewiesen.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060540)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet.

Nein, mit (R#,+,*).

Ich meinte als Basis für die Erweiterung. Das, was ich mit meiner Frage im letzten Beitrag klären wollte.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060540)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle,

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Zum einen wäre es in der Tat sinnfrei, Operationen zu verwenden, die nicht vollständig definiert sind, zum anderen: Die FPU implementiert ∞ um zu zeigen, dass das Ergebnis einer Operation zu groß war um intern dargestellt werden zu können, nicht weil ein entsprechendes mathematisches Konzept dahinter Sinn machen würde. R + { IchBinKeineZahl } muss auch nicht Sinn machen, bloß weil die FPU ein NaN kennt...

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

Ich sehe keinen Widerspruch, da sich Deine Argumenation auf eine andere Struktur bezieht, denn niemand will beweisen oder axiomatisch fordern, daß ∞ eine relle Zahl ist.

Niemand hat behauptet, dass ∞ eine reelle Zahl ist. Ich habe bloß gezeigt, dass die vorgeschlagenen Rechenregeln mit den Axiomen der reellen Zahlen im Widerspruch stehen. Nicht mehr, aber auch nicht weniger.
Zwar mag man nun argumentieren, dass (R#, +, *) dann eben einfach nur ein komplett neues Konzept ist, das unabhängig von (R, +, *) getragen wird - dann muss (R#, +, *) aber auch axiomatisch neu definiert werden, und darf (bzw. sollte) nicht auf den Axiomen der rellen Zahlen basieren, im Sinne von "ich nehme einfach R, füg 2 Elemente hinzu und erweiter + und *".

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

zB ist es mM irrelevant, daß (jfheins) 1+x > x für alle x aus R gilt, aber nicht für alle x aus R#. Das gleiche trifft auch auf C zu

Das ist so nicht richtig. Zum einen sind die komplexen Zahlen keine "Bereichserweiterung", sondern eigentlich ein Vektorraum, zum anderen ist ein Vergleichsoperator für C nicht definiert.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

Aber ich werde nicht weiter an dieser Diskussion teilnehmen, weil offensichtlich kein Interesse an dem -gar nicht von mir angestoßenen- Thema besteht

Wieso besteht kein Interesse? Wir diskutieren hier doch eigentlich relativ fleißig - wir sind uns nur nicht einer Meinung ;)

greetz
Mike