Unendlich <> Unendlich!

[Aphton]

Hallo liebe Delphi Gemenischaft.
Ich habe mir vor kurzem "BBC - Dangerous Knowledge" angesehen, in der ein Paradoxon beschrieben wird, der Mathematiker in den Wahnsinn getrieben hat:

Code:

Man nehme ein Kreis, fülle es mit unendlich vielen, unendlich dünnen Linien startend beim Zentrum mit der Länge vom Radius. Folglich kann man sehen, dass es keine Lücke zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien gibt. Alle diese Linien summiert bilden die Fläche des Kreises (Integration!).

So, wenn man nun einen kozentrischen Kreis mit einem größeren Radius drauflegt und die [b]unendlich vielen[/b], unendlich dünnen Linien vom ersten Kreis streckt und zwar zu den unendlich vielen Enden des zweiten Kreises, so sieht man, dass es zwischen zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien eine Lücke vorhanden ist!

Nun die konkrete, für mich schwer formulierbare Frage: Heißt das, dass es mehrere Ebenen von der Unendlichkeit gibt bzw. die "Zahl" Unendlich nicht direkt unendlich ist, sondern von bestimmten Faktoren (beispielsweise Radius & Flächeninhalt vom Kreis) abhängig ist?

Was sind eure Gedanken dazu?

MfG

[Gausi]

Ja, es gibt verschiedene Stufen der "Unendlichkeit". Das Beispiel mit dem Kreis leuchtet mir jetzt allerdings nicht direkt ein.

Es gibt aber die Begriffe "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich". "Abzählbar undendliche" Mengen sind zwar unendlich groß, man kann sie aber durchzählen (z.B. die natürlichen Zahlen, oder auch die Menge aller Brüche). Bei überabzählbaren Mengen geht das nicht (z.B. bei den reellen Zahlen).

[BUG]

Zwei (evtl. unendliche) Mengen sind gleich groß/mächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt.

Zum Beispiel ist die Menge N der natürlichen Zahlen unendlich. Man kann zB. zeigen, dass die Menge der 2-Tupel der natürlichen Zahlen NxN gleichgroß ist, ebenso bei den ganzen Zahlen Z und so weiter ...

Andererseits gibt es keine bijektive Abbildung zwischen reellen Zahlen R und N.


Ist also alles bloß Definitionsfrage :mrgreen:

Hilberts Hotel sollte dir auch gefallen.

[mleyen]

Zitat:

Zitat von Aphton (Beitrag 1060249)

Code:

zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien

Genau da ist der Fehler. Es gibt keine 'aufeinanderfolgenden Linien'.
Genau so wenig wie 2 'Unendlichkeitsformen'. Er gesellt sich einfach in die endliche Genauigkeit.

[sx2008]

Zitat:

Zitat von Aphton (Beitrag 1060249)

Alle diese Linien summiert bilden die Fläche des Kreises (Integration!).

Ein unendlich dünne Linie hätte aber die Fläche 0.
Man kann die Fläche eines Kreises mit Dreiecken annähern, indem man mit einem 6-Eck beginnt.
Ein 6-Eck besteht aus 6 Dreiecken, deren Fläche man leicht ausrechnen kann.
Dann verdoppelt man die Eckenzahl (12-Eck, ...) bis man zum Schluss den Übergang zu unendlich vielen Ecken macht.
Wenn man mit unendlich dünnen Linien beginnt, kann das nur zum Wahnsinn führen. :-D

Aber zu deiner Frage ob Unendlich <> Unendlich ist:
Ja, das könnte man so sagen.
Zum Beispiel die Funktion f(x) = x/x, wenn x immer grösser bleibt der Wert trotzdem bei x/x = 1.
Bei f(x) = (2*x)/(x+50) ist sicher, dass für sehr grosse x-Werte als Ergebnis nur der Wert 2 rauskommen kann.
Man nennt das Grenzwertbildung und das mathmatische Symbol dazu ist der "Limes".
Man kann bei der Grenzwertbildung aber nicht mit einem unendlichen Wert beginnen, sondern der Schritt zur Unendlichkeit muss immer am Schluss stehen.
Ansonsten droht :freak: Wahnsinn.

[Phoenix]

Die Kreislinie hat einen endlichen Umfang, auf diesem kann man aber unendlich viele Randpunkte unterbringen. In dem Fall würde vom Zentrum des Kreises zu jedem einzelnen dieser Kreispunkte eine Linie gehen. Somit wäre der Kreis gefüllt und wir haben genauso viele Linien, wie Punkte auf dem Kreisumfang.

Man kann freilich *immer* hergehen, und zwischen zwei Randpunkten einen weiteren Randpunkt einfügen, aber für einen Kreis mit dem Radius R1 nehmen wir mal eine Momentaufnahme mit einer fixen unendlich großen Anzahl von Kreispunkten.

Wenn wir den Kreis jetzt auf R2 vergrößern, wird die Kreislinie länger. Die Anzahl der Punkte ist aber durch die Momentaufnahme begrenzt. Das heisst, der Abstand der einzelnen Kreispunkte (und damit der Linen am Rand) wird größer. Es entstehen die Lücken.

Das man auf einer endlichen Strecke unendlich viele Punkte unterbringen kann, ist klar (man kann immer einen Punkt zwischen zwei bestehenden einfügen. Bei gleichem Abstand der Punkte bekommt man auf einer längeren Strecke aber eben auch mehr Punkte unter als auf einer kürzeren. Es sind aber jedes mal unendlich viele :)

[Matze]

Zitat:

Zitat von Phoenix (Beitrag 1060255)

Wenn wir den Kreis jetzt auf R2 vergrößern, wird die Kreislinie länger. Die Anzahl der Punkte ist aber durch die Momentaufnahme begrenzt. Das heisst, der Abstand der einzelnen Kreispunkte (und damit der Linen am Rand) wird größer. Es entstehen die Lücken.

(die im kleinen Kreis aber auch vorhanden waren :stupid: )

[Aphton]

Zitat:

Zitat von Phoenix (Beitrag 1060255)

Das man auf einer endlichen Strecke unendlich viele Punkte unterbringen kann, ist klar (man kann immer einen Punkt zwischen zwei bestehenden einfügen. Bei gleichem Abstand der Punkte bekommt man auf einer längeren Strecke aber eben auch mehr Punkte unter als auf einer kürzeren. Es sind aber jedes mal unendlich viele :)

Interessant!

[jfheins]

Zitat:

Zitat von Aphton (Beitrag 1060249)

Hallo liebe Delphi Gemenischaft.
Ich habe mir vor kurzem "BBC - Dangerous Knowledge" angesehen, in der ein Paradoxon beschrieben wird, der Mathematiker in den Wahnsinn getrieben hat:

Nun die konkrete, für mich schwer formulierbare Frage: Heißt das, dass es mehrere Ebenen von der Unendlichkeit gibt bzw. die "Zahl" Unendlich nicht direkt unendlich ist, sondern von bestimmten Faktoren (beispielsweise Radius & Flächeninhalt vom Kreis) abhängig ist?

Was sind eure Gedanken dazu?
MfG

Mein Gedanke: Du kannst den Kreis nicht mit Linien ausfüllen. linien sind 1 dimensional, die Fläche ist 2 dimensional. Es wird immer Lücken geben! Und (jetzt wirds cool ^^) diese Lücken kann man sogar bestimmen und wenn man alle zusammenzählt kommt man auf die Fläche des Kreises! (schließlich ist die Linie 1D und zwackt keine Fläche ab)

Es gibt übrigens noch einen Denkfehler: Die angesprochene Integration geht (aus gutem Grund) nicht von Linien aus, sondern von Kreissegmenten. Wenn man nämlich die Fläche eines Kreises bestimmen wollte mit einem Integral muss man schreiben:

int 1*r dr dphi, r=0..1, phi=0..2Pi

Man beachte das r ganz innen. Das ergibt sich aus dem Übergang zu Polarkoordinaten.

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von Aphton (Beitrag 1060249)

Nun die konkrete, für mich schwer formulierbare Frage: Heißt das, dass es mehrere Ebenen von der Unendlichkeit gibt bzw. die "Zahl" Unendlich nicht direkt unendlich ist, sondern von bestimmten Faktoren (beispielsweise Radius & Flächeninhalt vom Kreis) abhängig ist?

Im Prinzip ist das eine generelle Fragestellung der Kontinuitätshypothese. Diese behauptet folgendes:
Es gibt eine Menge P, sodass |N| < |P| < |R|, wobei |K| die Mächtigkeit der Menge K beschreibt.

Wir wissen lediglich, dass |N| = |Z| = |Q| < |R| (Cantors Diagonalisierungsargument), sowie dass - in den wichtigsten Axiomensystemen, nämlich PA und ZFC - diese Aussage weder beweisbar, noch widerlegbar ist (Bewiesen von Kurt Gödel und Paul Cohen).
Die Frage ist eines der berühmtesten Beispiele für unentscheidbare Sätze, deren Existenz (unter hoffentich wahren Umständen) von Gödel in seinem 1. Unvollständigkeitssatz bewiesen wurde. Dieser hatte auch vorgeschlagen, ZFC durch Axiome, welche Kardinalzahlen aufgreifen, zu erweitern. Damit könnte CH bzw. GCH, und somit auch deine Frage entschieden werden.

Folglich: Wir kennen bisher 2 Varianten von "unendlich": Abzählbar unendlich (|N|), und überabzählbar unendlich (|R|). Obs mehr davon gibt oder nicht, ist mit den bisherigen Regeln der Mathematik nicht zu beantworten.

greetz
Mike

[Win32.API]

Unendlich ist keine Zahl, es ist eine Beschreibung.

2*∞ = ∞ + ∞ = ∞
2*∞ = ∞
2 = 1 !

[Medium]

Diese Schreibweise ist extrem gefährlich!

∞ = ∞ muss man prinzipiell immer verneinen, wenn nicht bekannt ist WIE die Unendlichkeit zustande kam! ∞-∞ ist auch nicht zwangsweise =0, so wie auch ∞/∞ nicht zwangsweise =1 ist.
(FPUs liefern beim Vergleich zweier "Unendlich" typischerweise auch "false".)

Wie im Posting von JasonDX schon ganz gut erkennbar ist, ist es kompliziert dafür eine Anschauliche Metapher zu finden - das liegt aber darin begründet, dass der Mensch grundsätzlich nicht dazu in der Lage ist sich ein Verständnis von "Unendlichkeit" anzueigenen. (Sehr sehr SEHR viel/groß/weit taugt einfach nicht :)) Dieses Konzept übersteigt unseren Horizont was die Bildlichkeit angeht, aber dennoch ist man in der Lage den Begriff in Regeln und Gesetzmäßigkeiten zu fassen.
Aber jeglicher Versuch einer anschaulichen Darstellung ist zum Scheitern verurteilt. Hilberts Hotel ist da schon extrem gut gelungen.

[alzaimar]

Unendlich ist für mich z.B., auf einer Kugel spazieren zu gehen, bis man nicht mehr weiter kommt.

Die Kugel ist greifbar, das Unendliche ihrer Oberfläche (im o.g. Kontext) für mich zumindest auch BE-greifbar.

Wenn ich das mit den Linien auf meine Kugel anwende, dann nehme ich mir also eine Kugel, stell mich drauf, packe mir einen Stift in den A*** und laufe los. Der Stift zeichnet eine unendlich dünne Linie auf die Kugel und wenn ich die Kugel ausgemalt habe, dann bin ich fertig. (Allein das dauert schon, wegen der Unendlichkeit, ein Weilchen).

Nun puste ich die Kugel auf. Sind Lücken vorhanden? Nö.

Wieso soll man sich daran den Kopf zerbrechen? Schließlich habe ich eine unendlich lange Linie gezeichnet.

Der Fehler bei dem Paradoxon ist übrigens in meinen Augen der, das man annimmt, das man abzählbar unendlich viele Linien in so einem Kreis hat.
Das stimmt natürlich nicht, man hat unabzählbar viele Linien.

Da kann ich mir dann ein Segment ausschneiden und dehnen, es bleiben unendlich viele Linien. Und unendlich viele Linien sind ja nach Definition des Gedankenexperimentes flächenfüllend.

Wo ist also das Problem?

[JasonDX]

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist. Genau deshalb wurde auch das Konzept der Kardinalzahlen eingeführt. Diese erlauben - mit signifikanten Unterschieden zu den uns üblichen Zahlen - ein Rechnen mit "Unendlichkeiten".
Das Problem jetzt hier bei der Dokumentation und dem eingeführten Beispiel liegt IMO dabei, dass etwas mathematisches zu sehr vereinfacht wird:

Zitat:

Zitat von Aphton (Beitrag 1060249)

Code:

Man nehme ein Kreis, fülle es mit unendlich vielen, unendlich dünnen Linien startend beim Zentrum mit der Länge vom Radius. Folglich kann man sehen, dass es keine Lücke zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Linien gibt.

Wenn die Linien am Radius r dicht aneinanderliegen - wie siehts dann bei r/2 aus? Liegen die Linien dann dort aufeinander?
Betrachten wir 2 Linien. Es lässt sich leicht zeigen: Wenn die 2 Linien nicht gleich sind, so gibt es unendlich viele Linien dazwischen. Folglich: 2 Linien sind entweder gleich, oder nicht benachbart (d.h. es gibt noch min. 1 Linie dazwischen). Wenn man nun die Linien verlängert, zwischen welchen Linien will man einen Abstand bemerken? Wenn die Linien gleich sind, gibt es keinen Abstand. Vergleicht man 2 unterschiedliche Linien, so sind sie nicht benachbart, d.h. man kann auch nicht sagen dass die Linien nicht dicht aneinanderliegen - denn dafür müsste eine Lücke zwischen zwei benachbarten Linien existieren.

Btw: Die Doku ist zwar sehr interessant gemacht, aber ich würde mich auf die Korrektheit des wissenschaftlichen Inhalts nicht verlassen. (Auch nicht in den späteren Teilen ;))

greetz
Mike

[Ralf Kaiser]

Zitat:

Zitat von alzaimar (Beitrag 1060310)

Unendlich ist für mich z.B., auf einer Kugel spazieren zu gehen, bis man nicht mehr weiter kommt.

Die Kugel ist greifbar, das Unendliche ihrer Oberfläche (im o.g. Kontext) für mich zumindest auch BE-greifbar.

Die Oberfläche einer Kugel ist nicht unendlich! Sie ist unbegrenzt aber endlich!

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060325)

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation, und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht:

1/2 ist keine Zahl, -1 ist keine Zahl, i=sqrt(-1) ist keine Zahl, ∞ ist keine Zahl usw. Auch hier sind manche Operation in der alten, nicht erweiterten Menge nicht möglich.

Selbst unsere FPUs kennen unendlich (geanuer sogar zwei mit Vorzeichen) und können damit rechnen, zB 1/0 = ∞, (-1/0) = ∞ etc. Und anders als

Zitat:

Zitat von Medium (Beitrag 1060309)

(FPUs liefern beim Vergleich zweier "Unendlich" typischerweise auch "false".)

behauptet liefern sie auch das richtige Ergebnis: ∞=∞ und (-∞)=(-∞) (vielleicht er aber auch ∞ mit -∞ verglichen).

[jfheins]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060353)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060325)

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation, und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht:

1/2 ist keine Zahl, -1 ist keine Zahl, i=sqrt(-1) ist keine Zahl, ∞ ist keine Zahl usw. Auch hier sind manche Operation in der alten, nicht erweiterten Menge nicht möglich.

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Auch ein "Integral von -∞ bis +∞ f(x) dx" meint eigentlich: "Limes z->∞ von Integral von -z bis +z f(x) dx"

[gammatester]

Zitat:

Zitat von jfheins (Beitrag 1060360)

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Widersprüche? Was für Widersprüche? Und weshalb ist folgende Argumentation prinzipiell anders?

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060353)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060325)

∞ ist prinzipiell kein Element einer Zahlenmenge. Addition, Multiplikation, inverse und neutrale Elemente lassen sich auf ∞ nicht anwenden, da ∞ nunmal nicht Element einer entsprechenden Menge ist.

Erstens ist das doch wohl eine zirkuläre Argumentation

Nein. Ich stelle eine Behauptung auf: ∞ ist kein Element einer Menge eines Körpers, auf den die von mir oben genannten Operationen und Eigenschaften definiert sind; Und verwende diese Behauptung um zu begründen, warum die von Win32.Api verwendeten Rechengesetze auf ∞ nicht anwendbar sind. Das ist ein sequentielles Argument.
Du darfst meiner Annahme aber gerne widersprechen und einen Körper geben, dessen Menge die Mächtigkeiten der natürlichen und reellen Zahlen enthält ;)

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060353)

und selbst wenn man dies bereinigt, läuft es offensichtlich auf die altbekannten Rückzugsgefechte heraus, die immer dann ausgefochten werden, wenn's um Bereichserweiterungen geht

Keineswegs. Man muss aber auch nicht für jede widersprüchliche und sinnfreie Erweiterung offen sein. Es macht bspw. absolut keinen Sinn, die natürlichen Zahlen um ∞ zu erweitern - damit wäre PA inkonsistent, was das ganze von jeglichem Sinn befreit.
Und es gibt ja eine (sinnvolle) Erweiterung, welche die Mächtigkeiten von unendlichen Mengen umfasst, und das sind die Kardinalzahlen.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060353)

Selbst unsere FPUs kennen unendlich (geanuer sogar zwei mit Vorzeichen) und können damit rechnen

Wenn du eine FPU als Argument hernehmen willst, kann ich damit auch behaupten, dass es nur endlich viele Zahlen gibt, 1=0.999838467287, und bspw. Grahams Zahl ist eine ungültige Illusion. Wir sprechen hier von theoretischen Konzepten und berufen uns auf Definitionen, nicht mehr und nicht weniger.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060365)

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

Hm, hier sieht man warum man sich an theoretische Definitionen halten sollte. Es gibt kein Inverses Element von 0 bzgl. der Multiplikation. Der Körper über die rationalen/reellen Zahlen ist entsprechend definiert. Trotzdem gehst du von der Existenz eines solchen aus und "beweist" damit einen Widerspruch. Entsprechend zu PBC hast du damit lediglich bewiesen, dass deine Annahme (nämlich dass es ein Inverses Element für 0 bzgl. der Multiplikation gebe) falsch ist - was wir schon vorher wussten

greetz
Mike

[Neutral General]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060365)

Zitat:

Zitat von jfheins (Beitrag 1060360)

Der Unterschied ist: N lässt sich zu Q (und im weiteren auch zu R und I) erweitern, ohne Widersprüche zu erzeugen. Eine Erweiterung auf ∞ würde aber Widersprüche erzeugen und kann deshalb nicht durchgeführt werden!

Widersprüche? Was für Widersprüche? Und weshalb ist folgende Argumentation prinzipiell anders?

4*0 = 3*0, also 4=3? Widerpruch, also ist 0 keine Zahl.

Nein. 0=0 und eine Division durch 0 ist nicht möglich. Man kommt also überhaupt nicht auf 4=3.

[gammatester]

Ich habe nicht behauptet, daß ∞ eine reelle Zahl ist oder eine rationale. Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {-∞, ∞} widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann (siehe zB Weitere Operationen mit ∞). Einige Operation sind nicht erlaubt (zB ∞-∞), wie auch auf R einige Operationen nicht erlaubt sind (zB a/0 oder (-1)^(1/2)).

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060372)

Was ich sage ist, daß man auf der Menge R# = R + {∞ , ∞ } widerspruchsfreie Operationserweiterungen einführen kann

Man kann die Menge erweitern, aber wenn du von Operationserweiterungen sprichst, betrifft das den Körper über R. Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

(Hint: Dein Wikipedia-Artikel sagt dir schon: ∞ - ∞ = undefiniert; Somit wirst du bzgl der Addition kein inverses Element finden. Auch bei der Multiplikation wirst du dich schwer tun. Deine vorgeschlagene Erweiterung macht also wenig Sinn ;))

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060378)

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

[alzaimar]

Zitat:

Zitat von Alfi001 (Beitrag 1060352)

Zitat:

Zitat von alzaimar (Beitrag 1060310)

Die Kugel ist greifbar, das Unendliche ihrer Oberfläche (im o.g. Kontext) für mich zumindest auch BE-greifbar.

Die Oberfläche einer Kugel ist nicht unendlich! Sie ist unbegrenzt aber endlich!

Was meine ich wohl mit "im o.g. Kontext", wenn ich einen Absatz darüber gedanklich unendlich lange über eine Kugel laufe?

[Mithrandir]

Zitat:

Zitat von sx2008 (Beitrag 1060254)

Ein unendlich dünne Linie hätte aber die Fläche 0.

Wie kommst du darauf? Wenn, dann geht die Fläche gegen 0, sie ist aber niemals 0. Denn dann gäbe es sie ja nicht. :mrgreen:

[Neutral General]

Zitat:

Zitat von Mithrandir (Beitrag 1060395)

Zitat:

Zitat von sx2008 (Beitrag 1060254)

Ein unendlich dünne Linie hätte aber die Fläche 0.

Wie kommst du darauf? Wenn, dann geht die Fläche gegen 0, sie ist aber niemals 0. Denn dann gäbe es sie ja nicht. :mrgreen:

Sind Linien mathematisch gesehen nicht eh 1-dimensional und besitzen von daher eh keine Fläche? :mrgreen: :P

[Mithrandir]

Verdammt! :mrgreen:

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060380)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060378)

Damit müssen (R#, *) und (R#, +) abelsche Gruppen sein. Wie lauten denn dann die inversen Element von ∞ bzgl. * und +?

Ist mir neu, daß (R,*) eine abelsche Gruppe ist. Wie lautet denn das (multiplikative) Inverse von 0?

Richtig, mein Fehler. (R\{0},*) ist eine abelsche Gruppe, 0 ist das absorbierende Element in R. Man könnte jetzt weitergehen und sagen, dass dann ∞ entsprechend das absorbierende Element in R#\{0} ist und die Gruppe als (R\{0,∞},*) beschreiben, womits aber schön kompliziert wird. Gut, lassen wir uns davon nicht abhalten, zurück zur Addition und (R#,+): Was ist das inverse Element von ∞?
Weitere Frage: gilt a <= ∞ für alle a in R#?

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060410)

Weitere Frage: gilt a <= ∞ für alle a in R#?

Ja, siehe unten. Trotzdem wird die Diskussion doch langsam langweilig. Ich fasse zusammen: In R und R# sind eine Operationen nicht definiert. Man kann widerspruchsfrei mit +-INF rechnen. Die Regeln sind u.a. folgende: Für alle x aus R, alle y>0 aus R gilt

Code:

 -INF < x < INF
 x + INF = INF
 x - INF = -INF
 y/0 = INF
 (-y)/0 = -INF
 y/INF = 0
 y*INF = INF
 y*(-INF) = -INF
 (-y)*INF = -INF
 (-y)*-INF) = INF
 INF*INF = INF,  (-INF)*INF = -INF  usw.
 INF+INF = INF, -INF - INF = -INF

Außerdem sind * und + (falls alle auftretende Terme definiert sind) kommutativ, assoziativ. Es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

a <= INF gilt für alle a aus R#, weil x < INF, -INF < INF und INF = INF.

[Namenloser]

Was ist (-∞)^∞?

[BUG]

Zitat:

Zitat von NamenLozer (Beitrag 1060482)

Was ist (-∞)^∞?

Nicht definiert?

Wenn gammatester behauptet, das die genannten Regeln widerspruchsfrei sind, kann man das prüfen (bzw. beweisen/widerlegen), ABER man kann dafür nicht einfach einfach auf das zurückgreifen, was wir über R wissen.

Bis jetzt hat noch niemand gefordert (ist vielleicht auch nicht zu empfehlen :mrgreen:), dass (R#,+,*) ein Körper oder Ring sein soll, noch dafür irgendwelche anderen tolle Regeln gelten sollen (zB. a^b mit a, b € R# ist definiert als ...).

[mkinzler]

Wenn R für rationale Zahlen steht, dann handelt es sich ja um einen vollständig geordneten Körper

[gammatester]

Zitat:

Zitat von BUG (Beitrag 1060488)

Zitat:

Zitat von NamenLozer (Beitrag 1060482)

Was ist (-∞)^∞?

Nicht definiert?

Wenn gammatester behauptet, das die genannten Regeln widerspruchsfrei sind, kann man das prüfen (bzw. beweisen/widerlegen), ABER man kann dafür nicht einfach einfach auf das zurückgreifen, was wir über R wissen.

Es ist ja nicht so, daß ich das als einiziger behaupte, vgl ua den genannten Wiki-Arikel. Man wird halt in eine Diskussion reingezogen.

Als Pascal/Delphi-Programmierer haben wird ja auch fast ein komplettes Modell mit FPU und IEEE-Arithmetik, mit einigen Einschränkungen (nur endlich viele Zahlen, Addition nicht assoziativ für manche Ausdrücke etc).

Zitat:

Zitat von mkinzler (Beitrag 1060501)

Wenn R für rationale Zahlen steht, dann handelt es sich ja um einen vollständig geordneten Körper

Nein, R wurde oben als Körper der reellen Zahlen benutzt, ich habe R# als R+{∞,-∞} zur Unterscheidung verwendet, Wiki schreibt zB R mit Querstrich.

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060472)

Trotzdem wird die Diskussion doch langsam langweilig. Ich fasse zusammen: In R und R# sind eine Operationen nicht definiert. Man kann widerspruchsfrei mit +-INF rechnen.

Ja, es ist langsam langweilig (insb., da wir inzwischen mehr Ausnahmen als Operationen haben), und es tut mir leid, ich machs nicht interessanter. Wenn du von Systemerweiterung sprichst, bedeutet das dass die neuen Regeln mit den bisherigen den Axiomensystemen, die (R, +, *) beschreiben, nicht im Widerspruch stehen dürfen. Nehmen wir bspw. Tarski's zweites Axiomensystem zur Beschreibung von (R, +, *), nachzulesen in "Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences", Seite 217, dort steht bspw. als 8. Axiom:
∀x∀y∃z . x = y + z
Du willst nun ein Axiom hinzufügen, sodass
∀y . !(y = -∞) -> ∞ = y + ∞
Dies liegt eindeutig im Widerspruch zu Tarskis Axiom.
Wir wählen x = 1, y = ∞ [1]
folgich:
∃z . 1 = ∞ + z
Gezwungenermaßen muss ein entsprechendes z existieren. Wir unterscheiden 2 Möglichhkeiten:
z ist eine reelle Zahl. Damit kommen wir aber auf
1 = ∞ + z = ∞
was offensichtlich ein Widerspruch ist, oder aber
z = -∞
was in einer "ungültigen Operation" resultiert, womit es kein z gibt das das 8. Axiom erfüllt.
Aufrund LEM gilt somit: dein Axiomensystem ist bewiesenermaßen inkonsistent.

[1] Es funktioniert für alle x wenn !(x = ∞)

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060513)

Es ist ja nicht so, daß ich das als einiziger behaupte, vgl ua den genannten Wiki-Arikel. Man wird halt in eine Diskussion reingezogen.

Mag sein, aber wenn man Behauptungen vertritt, muss man sie auch verteidigen können. Zudem würde ich mich nicht so sehr auf die Korrektheit verlassen, insb. bei solchen Artikeln. Fachbücher sind eine deutlich bessere Referenz.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060513)

Nein, R wurde oben als Körper der reellen Zahlen benutzt, ich habe R# als R+{∞,-∞} zur Unterscheidung verwendet, Wiki schreibt zB R mit Querstrich.

Mengen erweitern kann man immer, das ist aber auch sehr langweilig. R + { Gugelhupf, Linzertorte } ist absolut gültig, aber nur von geringer Bedeutung.
Wenn man aber anfängt, Operationen darauf zu beschreiben, erweitert man nicht die Mengen, sondern die Tupel aus Mengen und Operatoren. Wenn man dann bspw. der Menge ein Element hinzufügt, muss der Operator entsprechend erweitert werden. Dies darf aber nicht zu einem Widerspruch führen.
Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet. Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle, oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

greetz
Mike

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Ja, es ist langsam langweilig (insb., da wir inzwischen mehr Ausnahmen als Operationen haben), und es tut mir leid, ich machs nicht interessanter.

Ja leider, außerdem gibt's pro primärer Operation nur ein Ausnahme: x + (-x) für Addition und 0*x für Multiplikation mit x = +-∞. Falls Du noch die Division betrachten willst auch noch +-∞/+-∞, aber dafür kann man die unendlichvielen Ausnahmen r/0 beseitigen.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet.

Nein, mit (R#,+,*).

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle,

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

Ich sehe keinen Widerspruch, da sich Deine Argumenation auf eine andere Struktur bezieht, denn niemand will beweisen oder axiomatisch fordern, daß ∞ eine relle Zahl ist. (So wie niemand behauptet, daß es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat < 0 ist. Und trotzdem finden es einige sinnvoll mit solchen Zahlen zu arbeiten.)

[jfheins]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060540)

Ja leider, außerdem gibt's pro primärer Operation nur ein Ausnahme: x + (-x) für Addition und 0*x für Multiplikation mit x = +-∞. Falls Du noch die Division betrachten willst auch noch +-∞/+-∞, aber dafür kann man die unendlichvielen Ausnahmen r/0 beseitigen.

Es ist nunmal so, dass sich der Raum R mit den bekannten Operationen als sehr sinnvoll erwiesen hat. Wenn du nun Elemente hinzufügen willst, ist es daher wichtig dass die bisherigen Regeln weiter gelten oder dass der neue Raum enorme Vorteile bietet. (Enorme Vorteile z.B. bei Matrizen, dafür gilt das Kommuntativgesetz nicht mehr) Sonst ist das wie mit der Menge

Zitat:

R + { Gugelhupf, Linzertorte }

die ist zwar ganz nett aber nicht sinnvoll. Da die bisherigen Operationen nicht mit den neuen Elementen umgehen können, müssen neue Regeln definiert werden. Und einen nutzen bringt das ganze trotzdem nicht.
Ähnlich ist die Menge R# : Es müssen viele neue Regeln definiert werden, mit marginalem Zusatznutzen. Und diese Regeln vertragen sich nicht mit den bisherigen!
z.B. gilt in R folgendes:
1+x > x für alle x in R
das gilt für R# nicht mehr (für x = INF insb.)

Zitat:

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Ob etwas Sinn macht und ob etwas mathematisch korrekt ist sind 2 grundlegend verschiedene Paar Schuhe.
Sinn macht z.B. folgendes:

Zitat:

integral (x * dx/dt) dt
lässt sich kürzen zu:
integral x dx

Mathematisch korrekt ist das nicht - aber es funktioniert ;)

Also lässt sich sagen: Die "Erweiterung" von R auf R# macht in manchen Fällen praktisch Sinn, mathematisch ist sie aber überflüssig und daher unsinnig. Da aber Rechner nicht die Perfektion der Mathematik sind (sonst könnten sie ja reelle Zahlen 1:1 abbilden ...) machen solche Shortcuts begrenzt Sinn.
Dann darf man aber nicht mit diesen Gebilden wieder in die Mathematik zurückkommen und sagen "OMG es gibt zwei verschiedene Arten von unendlich" oder "1/0 ergibt bei mir unendlich - kann man das mathematisch beweisen?"

[JasonDX]

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

(Auf den restlichen Beitrag antworte ich, nachdem die erste Frage geklärt ist. Wenn zwei Teilnehmer von widersprüchlichen Annahmen ausgehen, diskutiert sichs schlecht ;) )

greetz
Mike

[Bummi]

:o scheint eine ∞ lange Diskussion um ein ∞ philosophisches Thema zu werden.

[gammatester]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060588)

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

Deine Frage ist ziemlich sinnlos, weil die Menge R#\{-∞,∞} naürlich R ist und mit den auf R unveränderten Operation + und * einen Körper bildet. Aber ich werde nicht weiter an dieser Diskussion teilnehmen, weil offensichtlich kein Interesse an dem -gar nicht von mir angestoßenen- Thema besteht, wir schon ziemlich vom Originalbeitrag abgedriftet sind, und mit ziemlich unsinnigen Argumenten hantiert wird: zB ist es mM irrelevant, daß (jfheins) 1+x > x für alle x aus R gilt, aber nicht für alle x aus R#. Das gleiche trifft auch auf C zu, ohne daß das die komplexen Zahlen irgendwie abqualifiziert (und interessanterweise gilt 1+x=x ebenso für manche endliche IEEE-Zahlen, und 1+x>x gilt schon deshalb für die meisten anderen geläufigen Körper nicht, weil es dort gar kein < gibt.).

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060588)

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

Deine Frage ist ziemlich sinnlos, weil die Menge R#\{-∞,∞} naürlich R ist und mit den auf R unveränderten Operation + und * einen Körper bildet.

Die Frage ist keineswegs sinnlos. Wie dahinter beschrieben gings mir darum, ob + und * neu definiert werden, d.h. ein anderes Verhalten beschreiben könnten als die "gewöhnliche" Addition/Multiplikation der rellen Zahlen oder einfach diese einfach nur erweitern.
Die Frage stellt sich deshalb: Wären * und + anders definiert, könnte man Tarskis Axiome darauf nicht anwenden, und vllt. würde das auch keinen Widerspruch geben - das hinge dann von der Definition von + und * ab. So aber bilden die gegebenen Rechenregeln einen Widerspruch, wie bewiesen.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060540)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet.

Nein, mit (R#,+,*).

Ich meinte als Basis für die Erweiterung. Das, was ich mit meiner Frage im letzten Beitrag klären wollte.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060540)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle,

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Zum einen wäre es in der Tat sinnfrei, Operationen zu verwenden, die nicht vollständig definiert sind, zum anderen: Die FPU implementiert ∞ um zu zeigen, dass das Ergebnis einer Operation zu groß war um intern dargestellt werden zu können, nicht weil ein entsprechendes mathematisches Konzept dahinter Sinn machen würde. R + { IchBinKeineZahl } muss auch nicht Sinn machen, bloß weil die FPU ein NaN kennt...

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1060522)

oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

Ich sehe keinen Widerspruch, da sich Deine Argumenation auf eine andere Struktur bezieht, denn niemand will beweisen oder axiomatisch fordern, daß ∞ eine relle Zahl ist.

Niemand hat behauptet, dass ∞ eine reelle Zahl ist. Ich habe bloß gezeigt, dass die vorgeschlagenen Rechenregeln mit den Axiomen der reellen Zahlen im Widerspruch stehen. Nicht mehr, aber auch nicht weniger.
Zwar mag man nun argumentieren, dass (R#, +, *) dann eben einfach nur ein komplett neues Konzept ist, das unabhängig von (R, +, *) getragen wird - dann muss (R#, +, *) aber auch axiomatisch neu definiert werden, und darf (bzw. sollte) nicht auf den Axiomen der rellen Zahlen basieren, im Sinne von "ich nehme einfach R, füg 2 Elemente hinzu und erweiter + und *".

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

zB ist es mM irrelevant, daß (jfheins) 1+x > x für alle x aus R gilt, aber nicht für alle x aus R#. Das gleiche trifft auch auf C zu

Das ist so nicht richtig. Zum einen sind die komplexen Zahlen keine "Bereichserweiterung", sondern eigentlich ein Vektorraum, zum anderen ist ein Vergleichsoperator für C nicht definiert.

Zitat:

Zitat von gammatester (Beitrag 1060603)

Aber ich werde nicht weiter an dieser Diskussion teilnehmen, weil offensichtlich kein Interesse an dem -gar nicht von mir angestoßenen- Thema besteht

Wieso besteht kein Interesse? Wir diskutieren hier doch eigentlich relativ fleißig - wir sind uns nur nicht einer Meinung ;)

greetz
Mike