Gleichung umformen

[Bjoerk]

Kann mir ja jemand mal bitte helfen? Ich suche den Schnittpunkt von Gerade und Ellipse.
Hierzu muß ich diese Formel (***) in eine ax^2 + bx + c Gleichung umformen. Ich schaffs nicht (mehr). :oops:

Delphi-Quellcode:

  XLine1, YLine1, XLine2, YLine2, // Rect Gerade
  aLine, bLine, // Geradengleichung
  XEllipse1, YEllipse1, XEllipse2, YEllipse2, // Rect Ellipse
  X, Y, // Mittelpunkt Ellipse
  aEllipse, bEllipse: double; // Ellipsengleichung
begin
  X := (XEllipse2 + XEllipse1) / 2;
  Y := (YEllipse2 + YEllipse1) / 2;
  aEllipse := (XEllipse2 - XEllipse1) / 2;
  bEllipse := (YEllipse2 - YEllipse1) / 2;
  XLine1 := XLine1 - X;
  YLine1 := YLine1 - Y;
  XLine2 := XLine2 - X;
  YLine2 := YLine2 - Y;
  bLine := YLine1 - XLine1 * (YLine2- YLine1) / (XLine2 - XLine1);
  aLine := -YLine1 / ((YLine2- YLine1) / (XLine2 - XLine1)) - XLine1;

  // Line(x, y) = x / aLine + y / bLine = 1;
  // -> y = bLine * (1 - x / aLine);

  // Ellipse(x, y) = x^2 / aEllipse^2 + y^2 / bEllipse^2 = 1;
  -> x^2 / aEllipse^2 + (bLine * (1 - x / aLine))^2 / bEllipse^2 = 1; // ***

[Uwe Raabe]

Zunächst einmal bekommst du ein Problem, wenn die Gerade senkrecht (oder auch nur fast senkrecht) ist. Den Fall musst du abfangen.

Als Tip für die Ellipse: Du machst ja bereits eine Transformation so daß der Mittelpunkt der Ellipse den Nullpunkt darstellt. Wenn du jetzt noch eine Transformation machst, die eine Ellipse in einen Einheitskreis verwandelt, wird die Berechnung der Schnittpunkte (es gibt 0..2) einfacher. Nur nicht vergessen, am Ende wieder zurückzutransformieren.

[Namenloser]

Schon lange keine Geometrieaufgabe mehr gerechnet, deshalb habe ich mich mal dran versucht. Habe aber nicht überprüft, ob es stimmt, ohne Gewähr...

Die Gerade wird angegeben durch einen Punkt, der auf der Geraden liegt (s), und einen Richtungsvektor (v). Der Kreis liegt im Ursprung und hat den Radius 1.

[Bjoerk]

OK. Das hab ich ja auch befürchtet, daß man die Fälle 90/180° abfangen muß. Außerdem gibt's ja noch Pie und Arc Schnittpunkte zu berechnen. Dann lass ich's lieber so wie ich’s hab (Berechnung der Schnittpunkte für Ellipse und Co. temporär in Polygon umwandeln und IntersectLines). Thanx!

[Namenloser]

Wenn man mit Vektoren rechnet (siehe meine Lösung), muss man nichts abfangen.

[Chris211183]

es kommt immer darauf an, wie man die Koordinaten einer Geraden beschreibt, jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !
Ich würd es auch auch meinem Vorredner nachmachen, wobei man bei einer Ellipse darauf achten muss, dass ein kreis auch eine Ellipse ist :wink:

vielleicht hilft Dir das weiter...

[Medium]

Zitat:

jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !

Hierzu würde ich gerne mal einen Beweis sehen. Nicht um überheblich zu klingen, sondern weil mich es echt interessieren würde. (Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.)

[Sir Rufo]

Zitat:

Zitat von Medium (Beitrag 1244044)

Zitat:

jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !

Hierzu würde ich gerne mal einen Beweis sehen. Nicht um überheblich zu klingen, sondern weil mich es echt interessieren würde. (Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.)

Nimm dir einen beliebigen Punkt im Abstand ∞ zur Geraden.
Dann ist der Abstand von diesem Punkt zu jedem Punkt auf der Geraden auch ∞.
Daraus folgt, dass die Gerade in diesem Fall eine Kurve sein muss ;)

Oder andersherum, der Kurvenradius einer Geraden ist ∞

[Medium]

Das würde ja voraussetzen, dass ∞ eine Zahl ist, mit der ich konkrete Abstandsbestimmungen durchführen könnte. Da aber doch selbst "∞-∞ := undefined" gilt (und jede andere triviale Operation mit ∞ als Operand ebenso), kann dies nicht wirklich der Beweis sein. Das muss anders gehen.
Sprachlich leuchtet die Begründung ein, aber selbst da ist es noch immer "nur" eine Begründung. Kein Beweis, wie ich ihn mir jetzt vorgestellt hatte. Ich würde hier gerne doch wirklich mathematische eindeutige Terminologie sehen, kein Deutsch.

Der Kurvenradius ist schon eine gute Sache, aber das sagt noch immer nicht, warum eine Gerade dann gerade in der Unendlichkeit erst eine Kurve ist. Die Strecke (0,0)(0,1) hat denselben Kurvenradius.

[Sir Rufo]

Wenn die Gerade in der Unendlichkeit eine Kurve ist, dann sind die Teilmengen der Geraden (=Strecken) das ebenfalls ;)

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Medium (Beitrag 1244044)

Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.

Was ist denn hier mit ∑ gemeint?

Zu der Sache mit Geraden als Kurven: Wenn damit gemeint ist, dass zwei unendlich lange Geraden sich schneiden, dann hab ich dazu einen etwas informellen Beweis: Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem durch jede Kante eine Gerade geht. Jetzt zieh an einer der Ecken des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Wenn du immer weiter ziehst, dann geht „offensichtlich“ der Winkel an der 3. Ecke gegen 90°. Da dann zwei Winkel 90° haben und die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, folgt daraus, dass der Winkel zwischen Hypothenuse und der längeren Kante des Dreiecks gegen 0 geht, und damit auch der Winkel zwischen den Geraden durch diese Kanten, was ja bedeutet, dass sie annähernd parallel werden (sieht man ja auch). Aber trotzdem schneiden sie sich ja per Definition...

Hier ist halt nur nicht bewiesen, dass der eine Winkel da wirklich gegen 90° geht. Allerdings ist mir die Konstruktion auch einfach so in der Mittelstufe eingefallen und ich hatte eigentlich nicht vor einen Beweis zu konstruieren, sondern wollte nur wissen, wo mein Denkfehler ist. So habe ich ausgesehen, als meine Mathelehrerin dann meinte, dass zwei Geraden sich wirklich im unendlichen schneiden: :shock:

[Medium]

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Zur besseren Vorstellung: Die als Grenzprozess ausgeführte Nullstelle von f(x)=1/x ist entweder -inf oder +inf, je nach dem von welcher Seite du kommst. Grenzprozesse sind ein ganz eigenes Tierchen. Man müsste da schon anders dran gehen - die Annahme müsste z.B. lauten:
g1 := (0,0) + a(1,0)
g2 := (0,1) + b(1,0)
g1 ∩ g2 ≠ {} (g1 geschnitten g2 ungleich einer leeren Menge)

Dies müsste man auf mathematischem Weg beweisen, dann könnte man die Aussage "zwei Parallelen schneiden sich in der Unendlichkeit" gelten lassen zu können. Mit dem Dreieck wäre lediglich bewiesen, dass sich zwei Geraden, die gegen Parallelität streben sich im unendlichen schneiden. Tut mir leid, deiner Lehrerin da wiedersprechen zu müssen.

Letztlich aber hat das mit der Frage nach der "Kurve" nichts mehr am Hut denke ich. Vielleicht wäre es auch zunächst mal interessant zu erfahren, was Chris211183 für eine Definition von "Kurve" ansetzt. Das könnte ein nicht ganz unwichtiger Aspekt hier sein =)

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Medium (Beitrag 1244138)

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Ok, dann meintest du das doch so. Klingt für mich als wäre in dem Beweis ein Fehler. Wolfram Alpha sagt auch, dass das nicht konvergiert. Oder du beziehst dich auf irgendeinen sehr komischen Raum. Für ℕ kann das ja z.B. schon mal nicht stimmen, weil -1/12 kein Element von ℕ ist.

Zitat:

Zitat von Medium (Beitrag 1244138)

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Hmm nunja, aber was willst du sonst zeigen? Mit Unendlich als Zahl kannst du ja nicht rechnen, wie du selbst schon gesagt hast.

[Medium]

Das Ergebnis muss ja nicht immer in der selben Menge sein wie die Operanden. 13:4 ist auch nicht in N ;). Und ja, es geht gegen jegliche Intuition - was aber nicht selten ist sobald Unendlichkeiten ins Spiel kommen. Eine Hand voll Beweise sind hier zu finden. (Der ganze Kanal und alle weiteren von Brady sind unglaublich interessant und unterhaltsam!)

Und eben weil Unendlichkeit und Intuition nicht so toll zusammen gehen, würde ich ja gerne einen strikt mathematischen Weg wissen, wie zum einen die Kurven-Behauptung, sowie der Schnitt der Parallelen zu bestätigen wären. Aus Interesse! Solche Dinge unterhalten mich besser als jeder Werbungsdurchzogene Abendfilm im deutschen TV (wenn mal überhaupt einer kommt, und nicht das heute übliche Dumm-TV).
Dass man mit Unendlich nicht wie mit einer Zahl rechnen kann, hat bisher auch andere Beweise die sich damit beschäftigen nicht gestört. Man muss das Problem vermutlich, wie du es ja auch angegangen bist, umformulieren. Nur halt irgendwie so, dass die Natur des Problems dabei erhalten bleibt. :gruebel:

[Namenloser]

Ist wohl alles eine Definitionsfrage. Ich hab mir erst mal das 1-1+1-1+1...-Video angesehen, worauf der Beweis ja aufbaut. Aber auch da gibt er am Ende in irgendeinem Nebensatz zu, dass die 0.5 eigentlich kein richtiger Grenzwert ist. Da wurde jetzt halt einfach mal definiert, dass die Folge äquivalent zum Durchschnitt der Folgenglieder ist, so wie man sonst üblicherweise definiert, dass eine Folge äquivalent zu ihrem Grenzwert ist. Beides hat sicher seine Anwendungsfälle, je nachdem, was man damit modellieren will. Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

[Medium]

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt. Und ja klar: Es ist eine Lösung, die auch von der Betrachtungsweise abhängt. Aber sie ist schlüssig beweisbar, wenn auch entgegen jeder Intuition. Und darum ging es mir eigentlich nur, nicht um eine Debatte um "-1/12" :)

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Medium (Beitrag 1244158)

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt.

Das Problem ist weniger der Beweis an sich, sondern die Definition. Wenn a eine konvergente Folge ist, dann sagt man normalerweise per Konvention, dass a = der Wert, gegen den sie konvergiert.

Folgen, die nicht konvergieren, sind ja aber auch nicht ungewöhnlich, z.B. sin(x) konvergiert nicht. In solchen Fällen kann man aber z.B. trotzdem lim sup und lim inf bestimmen (für die +1-1-Folge auch). Wäre ja alles witzlos, wenn der Grenzwert das gleiche wäre wie der Durchschnitt.

In dem Video betonen sie öfter, dass das in der Physik verwendet wird. Das kann ich mir auch durchaus vorstellen, da man es in der Praxis sicher häufiger mit Zeitspannen zu tun hat. Wenn ich z.B. ein Foto aufnehme und während der Belichtungszeit das Licht immer ganz schnell an- und ausstelle, dann kriege ich ein halb belichtetes Bild. Dithering wäre also ein Anwendungsfall. Aber Physik ist eben nicht das gleiche wie Mathematik.

[Valle]

Zitat:

Zitat von Namenloser (Beitrag 1244156)

Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

Ich würde das gern etwas präzisieren: Es ist falsch.

Die Reihe divergiert, es existiert also kein Grenzwert. Und aus einer falschen Aussgae kann man bekanntlich alles herleiten.

(Mein laienhafter, vielleicht auch falscher Beweis warum das falsch ist: Die Summe s_1 = sum (-1)^n from n=0 to inf ist eine geometrische Reihe. Der Qoutient (q) zweier benachbarter Folgenglieder der zugrundeliegenden Folge ist immer -1. Die Reihe hat also a_0 = 1 und q = -1. Da a_0 != 0 und |q| !< 1 divergiert die Reihe. Bitte korrigiert mich falls ich falsch liege. :thumb: )

[Furtbichler]

Rein mathematisch ist das natürlich Quatsch, aber da die Realität zeigt, das das Ergebnis stimmt, ist das nicht 'falsch'. Es ist so, das die Summe wirklich -1/12 ist, wenn sie nicht blöderweise -rein mathematisch- nie zum Ende käme. Nun gibt es aber 'Unendlich' in der Physik nicht, weswegen man lustigerweise beobachten kann, das hier eben -1/12 herauskommt.

Es ist hier kein Glatteisbeweis, den die Oberschlauen durchschauen und als Blödsinn abtun können: Eine Reihe, bei der entweder 0 oder 1 rauskommt (je nachdem, ob Unendlich gerade oder Ungerade ist :lol: :mrgreen:) ist natürlich mit den Augen eines Physikers 0.5: Stellt euch mal das Ergebnis als kleine Kugel vor, die entweder 0 oder 1g schwer ist, aber immer abwechselnd, weil sie sich ja nicht direkt entscheiden kann (sie repräsentiert also die divergierende Reihe). Na ja. Legen wir das auf eine Waage, zeigt diese nun mal 0.5g an. Oder noch anschaulicher: Wir haben davon 1000, die intern über Dimensionsfalten und was weis ich ständig ultraleicht und dann wieder etwas schwerer werden (machen Atome ja nun mal so ähnlich). Die Teile wären dann in Summe 500g schwer: Durch 1000 geteilt macht eben 0.5g pro Kugel.

Die Mathematik ist an dieser Stelle ziemlich verlegen: An der Stelle, wo sie widersprüchlich würde (durch 0 Teilen, Unendlich, divergierende Reihen) sagt sie dann einfach: "Is nich definiert" und zieht sich somit aus der Affäre: Würde sie das nicht tun, wäre sie komplett für die Tonne.

[Medium]

Wenn ihr euch so gerne gegen eine Reihe gestandener Professoren der Mathematik und Physik aufbäumen wollt, gerne. Ich klinke mich dann an dieser Stelle aus, und nehme statt dessen einen der "besseren" Beweise, die ihr hier so ganz ohne böse Absicht aussen vor lasst :roll:
Ferne nehme ich mit, dass die DP nicht anders ist als alle anderen Foren auch: Man zieht sich an einem beiläufigen Nebensatz hoch, der nicht mehr als "Flavor" war, und bloß mein Interesse an scheinbar unsinnigen Aussagen, die sich aber sehr wohl zeigen lassen demonstrieren sollte. Ihr dürft dann gerne weiter spielen, ich suche mir meine Antwort halt selbst.

[Namenloser]

Auch wenn Medium sich jetzt ausgeklinkt hat: Mir ist noch ein Grund eingefallen, warum man Grenzwerte nicht einfach durch den Durchschnitt ersetzen kann.

Einige reelle Zahlen, z.B. e, sind über den Grenzwert von rationalen Folgen definiert. Das schöne dabei ist, dass der Grenzwert alle Eigenschaften hat, die wir für Zahlen voraussetzen, damit wir damit rechnen können: Man kann sie addieren, subtrahieren, multiplizieren usw.. Präziser ausgedrückt gibt es einen Homomorphismus zwischen einer Folge und ihrem Grenzwert. D.h. lim(a+b) = lim(a)+lim(b), lim(a*b) = lim(a)*lim(b) usw..

Beim Durchschnitt funktioniert das zwar soweit ich sehe bei der Addition und Subtraktion, im allgemeinen aber nicht bei der Multiplikation: Geht z.B. die Folge a so: 0,1,0,1,0,1,... und die Folge b so: 1,0,1,0,1,0..., dann ist a*b an jeder Stelle 0, und damit auch avg(a*b) = 0. Für sich betrachtet sind aber avg(a) = avg(b) = 0.5. Also ist 0 = avg(a*b) != avg(a)*avg(b) = 0.25. Deshalb taugt diese Definition nicht im allgemeinen.

Das, was die im Video erzählen, ist nicht unbedingt „falsch“, nur bei genauerer Betrachtung deutlich weniger spektakulär, als es dargestellt wird. Im Grunde läuft es darauf hinaus: Man nehme eine mehr oder weniger willkürliche Abbildung von einer Folge auf eine Zahl, und wenn man damit rumrechnet, kommt was anderes raus als wenn man das gleiche mit einer anderen Abbildung von einer Folge auf eine Zahl tut.

[Valle]

Ich habe auch nicht behauptet dass das physikalisch betrachtet keinen Sinn ergibt, im Gegenteil.
Meine Betrachtungsweise war rein mathematisch. Ob das sinnvoll ist sei dahingestellt.

Scheinbar bringst du da etwas durcheinander. Wir interessieren uns auch dafür! Deshalb reden wir darüber. Nur dass wir es anders sehen und uns durch den Beweis nicht haben überzeugen lassen. Und ich bin sogar der Meinung, das Gegenteil beweisen zu können, was ich auch getan habe. Hast du das übersehen?

Auch gestandene Mathematiker und Physiker sind sich oft nicht einig. Zum Beispiel ob 0 ∈ ℕ. Zugegeben, ich habe ihn nicht gefragt. Aber ich bin mir sicher dass mein Mathe-Prof. 0,5 bzw. -1/12 nicht als Grenzwert der Reihe anerkennt. ;-)

Also sei nicht beleidigt. Wir interessieren und dafür und wollen darüber reden. Und ich gebe mir große Mühe sachlich darüber zu diskutieren!

Edit:// @Namenloser: Rein mathematisch gesehen, sehe ich das Ergebnis dennoch als falsch an. Aber klar, das ist Ansichtssache. Aber es ist es doch so, dass das Video nicht bewiesen hat, warum der Reihenwert 0,5 sei. Es gibt Kriterien für Konvergenzen und Divergenzen von Reihen. Diese hat man zu benutzen und nicht irgendwelche dahergezauberten Überlegungen. Diese Kriterien sind bewiesen, und ich habe das letzte halbe Jahr mitverfolgt, wie wir aus den Axiomen diese Kriterien gemacht haben.

[Namenloser]

Sie behaupten ja auch nicht im Klartext, dass die Reihe dagegen konvergiert, es wird bloß suggeriert. Sie sagen nur „is equal to“, und darunter kann man sich nun mal vieles vorstellen.

[Medium]

In dem Video wird, wenn ich mich richtig erinnere ziemlich am Anfang, klipp und klar gesagt, dass diese 0,5 ein wenig ein Kunstgriff sind, der jedoch genau so Sinn machen kann wie die Lösung durch die zwei Grenzwerte. Und genau deswegen werden auch andere, handfestere Wege genannt, aber nur kurz angerissen. Von dem Video aus wird ein weiteres verlinkt (extra bits o.ä.), wo eben diese genauer betrachtet werden. Da die jedoch deutlich weniger demonstrativ für den Leien sind, sind die aus dem eigentlichen Video ausgegliedert. Dass die Annahme der 0,5 ggf. mit Vorsicht zu genießen ist wird nicht verschwiegen und nie behauptet dass dies DIE Lösung für die Folge sei. Daher ist das ganze hier leider müßig, und das ist, warum ich keine Lust mehr habe. Das Thema ist behandelt, und ihr habt durchaus Recht. Nur ist das noch lange nicht der Gegenbeweis für die -1/12 der Summe der natürlichen Zahlen, als was es hier herangezogen werden soll. IMHO Thema verfehlt. Das ist es, was mich etwas annervt.

Am Rande: "is equal to" heisst sehr eindeutig "ist gleich zu", und wird im mathematischen Sprachgebrauch ganz genau so verwendet wie das Deutsche "ist gleich". Da gibt es nicht arg viel zu deuten finde ich. Der Engländer liest "5=1+4" wirklich als "five is equal to one plus four", und so ist das auch zu verstehen. Aber nochmals: Das kratzt die -1/12 nicht.
Und Valle: Dann ist dies deine Chance deinem Prof mit echter harter Mathematik berechtigt zu wiedersprechen. (So lange du eben NICHT den Beweis über die 1-1+1-1+1-1+... nimmst ;))

[Namenloser]

Das deutsche „ist gleich“ ist nicht weniger unpräzise. Das eine ist eine Folge und das andere eine Zahl... die beiden sind also schon deshalb streng genommen nicht „gleich“, weil es zwei unterschiedliche Begriffe sind. Wenn man sagt dass eine Folge gleich einem Wert ist, meint man damit eigentlich etwas anderes – im Regelfall eben, dass die Folge gegen diesen Wert konvergiert.

Und dieses fundamentale Problem hat auch der Beweis mit -1/12, den ich mir deshalb schon gar nicht mehr genau angeschaut habe. Ist ein bisschen wie bei Per Anhalter durch die Galaxis – 42 (-1/12) ist die Antwort, aber was war eigentlich die Frage? Was auch immer sie war, sie war nicht die Frage nach dem Grenzwert.

[Valle]

Der Beweis dass der Grenzwert der Summe nicht existiert ist trivial. Nennt man daher auch Trivialkriterium.

Was das Video eigentlich meint, ist nicht der Grenzwert, sondern die Ramanujan-Summe. Diese gibt man mit einem Fraktur-R ( �� ) in Klammern an.

Weiterführende Informationen zum Thema:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanuj...vergent_series

Wir reden also von zwei verschiedenen Dingen. Der Reihenwert ist nicht -1/12.

[Bjoerk]

Hätte nicht gedacht daß die Ellipse so viel komplizierter ist wie ein Kreis? Ist es möglich diese Gleichung nach Alpha umzustellen? :gruebel:

Phi = (B * Sin(Alpha)) / (A * cos(Alpha))

[Panthrax]

Delphi-Quellcode:

Alpha := ArcTan(Phi * A / B);

, in Rad, A <> 0, B <> 0.

[BUG]

Zitat:

Zitat von Panthrax (Beitrag 1245562)

Delphi-Quellcode:

Alpha := ArcTan(Phi * A / B);

, in Rad, A <> 0, B <> 0.

Lässt sich übrigens auch über Wolfram Alpha rauskriegen :mrgreen:
solve Phi = (B * Sin(Alpha)) / (A * cos(Alpha)) for alpha

[Bjoerk]

Ok. Vielen Dank. Man macht das wohl noch anders.. Weiß jemand wie diese Formel für p^2 zu benutzen ist, falls b > a?

// Edit

Also das mein ich:

Delphi-Quellcode:

    Eps :=  Sqrt(A * A - B * B) / A;
    ACos := Cos(DegToRad(Phi));
    ASin := Sin(DegToRad(Phi));
    P := Sqrt(B * B / (1 - Eps * Eps * ACos * ACos));
    X := X1 + P * ACos;
    Y := Y1 + P * ASin;

[Namenloser]

In welcher Form hast du die Ellipse gegeben? Also welche Parameter sind bekannt? Was genau willst du machen?

[Bjoerk]

Mit den geposteten Formeln kannst du sozusagen Canvas.Arc P3 und P4 exakt ermitteln, wenn du zwei Winkel vorgibst. Der Sinn des Ganzen besteht darin Arc oder Pie als Polygon zu erfassen (for Phie = StartWinkel to EndWinkel). X1, Y1 ist der Mittelpunkt und a bzw. b die Radien der Ellipse. Das Ganze funktioniert halt nur nicht, wenn die Ellipse in der 2. Hauptlage vorliegt (a < b), dann gelten diese Formeln nicht. Ich kann es auch so machen, daß ich intern die Ellipse drehe und wieder zurück. Wollte nur mal nachfragen?

[Namenloser]

Was ist denn für dich ein Winkel bei einer Ellipse? Mal angenommen, die Ellipse ist doppelt so breit wie hoch, wo ist jetzt 45°? Kannst du eine Skizze machen?

[Furtbichler]

Seit ihr nicht etwas vom Thema abgekommen?

Ich hab gestern wieder etwas darüber gesehen (Summe 1-1+1-1...):

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das auszurechnen. Die erste ist die, eine Formel zu finden, die die Summe S(n) für die Werte von 1..n ausrechnet. Im Idealfall hätte man eine Konstante C und einen von n abhängigen Anteil. Also
Summe(1..n)= C+f(n). Wenn man beweisen kann, das f(n) gegen 0 geht, hat man gewonnen. Z.B. bei der Reihe 1/2 + 1/4 +1/8... ist C=1 und f(n)=1/(2^n). Wenn n => unendlich geht, geht f(n)= 1/(2^n) gegen 0. Der Grenzwert ist also C=1. Das klappt bei unserer Reihe natürlich nicht.

Aber es gibt auch eine andere Möglichkeit: Man kann sich den Durschnitt aller Teilsummen [S(1)..S(n)] nehmen. Das ergibt eine neue Reihe, die so aussieht:
S1/1, (S1+S2)/2, (S1+S2+S3)/3..., (S1+S2+S3...+Sn)/n
Und wenn diese Reihe konvergiert, dann ist der Grenzwert eben genau die ursprüngliche Reihensumme. Für unsere Summe ergibt das ...
S1=1 (1)
S2=0 (1-1)
S3=1 (1-1+1)
...
Nun bilden wir den Durschnitt der ersten n Summen:
....
Für n=1 hätten wir [1]/1 = 1
Für n=2 hätten wir [1+0]/2 = 1/2 (also (S1+S0)/2)
Für n=3 hätten wir [1+0+1]/3 = 2/3
Für n=4 hätten wir [1+0+1+0]/4 = 2/4
Für n=10 hätten wir [1+0+1+0+1+0+1+0+1+0]/10= 5/10
Für n=11 hätten wir [1+0+1+0+1+0+1+0+1+0+1]/11= 5/11
...
Für n=1000 hätten wir [1+0....+1]/1000 = 500/1000
Für n=1001 hätten wir [1+0....+1+0]/1001=500/1001
Hmm. Offenbar pendeln sich die Teilsummen bei 1/2 ein (mal etwas mehr, mal genau). Der Durschnitt der ersten 1001 Teilsummen ist schon fast 1/2.. !?

Allgemein gesehen bekommen wir für wachsende n abwechselnd 1/2 bzw 1/2 + 1/2n. Nun geht aber 1/2n für wachsende n gegen 0. Also werden wir für n=> unendlich bei 1/2 landen. Zwangsweise.
q.e.d
Je größer n wird, desto näher liegen zwei Teilsummen beieinander und insgesammt bei 1/2. Wie kann es dann sein, das die Teilsumme bei n=unendlich plötzlich einen großen Sprung macht? Es ist doch eher so, das man annehmen kann, das sich die Summe für n=>unendlich bei 1/2 einpendelt. Was spricht dagegen?

[Mikkey]

Zitat:

Zitat von Furtbichler (Beitrag 1245598)

Seit ihr nicht etwas vom Thema abgekommen?

Ich hab gestern wieder etwas darüber gesehen (Summe 1-1+1-1...):

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das auszurechnen. Die erste ist die, eine Formel zu finden, die die Summe S(n) für die Werte von 1..n ausrechnet. Im Idealfall hätte man eine Konstante C und einen von n abhängigen Anteil.

Nö, die Summe S(n), die nach n Elementen Deiner Summe beendet ist, ergibt sich zu

Code:

S(n) = n MOD 2

Als Reihe konvergiert die Folge -1^i (i=0,1,2..) nicht,
ebensowenig wie die Folge 1/i (i=1,2,3...) obwohl die Folge selbst gegen Null konvergiert.

Denn

Zitat:

Zitat von Furtbichler (Beitrag 1245598)

Wenn man beweisen kann, das f(n) gegen 0 geht

ist nur notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.

[Bjoerk]

Here we go. Ich hoffe du kannst meine Sauklaue lesen..
BTW, kann man diese Diskussion mal abtrennen?

Edit: In der Skizze muß es nautürlich a > b heißen.

[Namenloser]

Danke, aber was ich eigentlich meinte, war, wie ich mir das „Koordinatensystem“ der Winkel vorzustellen habe.

Eine Ellipse ist ja ein gestauchter Kreis. Jetzt könnte man sich zwei Varianten vorstellen.

Variante 1: Ich zeichne bei einem Kreis einen 45°-Winkel ein, bzw. setze an der entsprechenden Stelle einen Punkt. Anschließend stauche ich den Kreis zur Ellipse und nehme den Punkt dabei mit.
Variante 2: Ich zeichne die Ellipse und berechne ihren Schnittpunkt mit einer 45°-Geraden (also einer Winkelhalbierenden des Koordinatensystems).

Bei beiden Varianten kommen unterschiedliche Punkte heraus.

Mir ist nicht klar, was von beidem du meinst, und in deiner Skizze ist es mir leider nicht klar.

Der Hintergrund für die Frage war, dass mir diese Formeln reichlich kompliziert erscheinen, und ich die Vermutung habe, dass man das Problem durch ein paar Transformationen erheblich vereinfachen könnte.

[Desmulator]

Um noch einen Beweis für die Divergenz der Reihe 1/n zu liefern.
Es sei zu bemerken: konvergente Reihe => Cauchy-Folge (der Abstand von Folgegliedern konvergiert gegen 0).
Wir zeigen nun, dass die Reihe 1/n keine Cauchy-Folge ist und somit insbesondere auch keine konvergente Folge sein kann, obwohl 1/n gegen 0 konvergiert.

Sei s_n die n-te Partialsumme. (Also die Summe von i = 1 bis n)
Wir erkennen s_2n - s_n = 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n >= n*(1/2n) = 1/2
Es folgt also, dass der Abstand zwischen bestimmen Folgegliedern nicht beliebig klein wird. Somit kann es keine Cauchyfolge sein und letztlich auch keine konvergente Folge. Die Bedingung a_n -> 0 ist also nur eine notwendige Bedingung und das auch nur für absolut konvergente Folgen. Schließlich kennt ja jeder den Umordnungssatz von Riemann, nachdem konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihen so umgeordnet werden können, dass jeder beliebige Wert als Grenzwert angenommen wird.

[Offtopic]
Wo wir gerade bei Mathe sind:
Es sei Z := {(x, y, z) ∈ ℝ³: x²+y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤1} offensichtlich ein Zylinder (!).
Berechne das Intergal auf Z über z*exp(-z(x²+y²)).
Ich biete -e*π/2...?

[Bjoerk]

Zitat:

Zitat von Namenloser (Beitrag 1245751)

Danke, aber was ich eigentlich meinte, war, wie ich mir das „Koordinatensystem“ der Winkel vorzustellen habe.

Ich weiß leider nicht wie ich es dir noch verständlicher machen soll? Der Vektor P beschreibt die Punkte der Ellipse in Polarkoordinaten.

E(X, Y) = f(Phi, P) , Phi 0 .. 360 , bzw. bei Arc Phie = Alpha .. Alpha + Beta

Zur Berechnung der Länge von P wird als Hilfswert der Abstand e der Brennpunkte vom Mittelpunkt berechnet:

e = Sqrt(a^2 – b^2). Daraus folgt, daß a > b sein muß.
Was ist aber wenn a < b? Das ist nun meine Frage? Verstanden?

Ich hatte doch darum geben, daß diese Diskussion vom Thread abgetrennt wird, weil sie mit meiner Frage nichts zu tun hat?

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Bjoerk (Beitrag 1245775)

Zitat:

Zitat von Namenloser (Beitrag 1245751)

Danke, aber was ich eigentlich meinte, war, wie ich mir das „Koordinatensystem“ der Winkel vorzustellen habe.

Ich weiß leider nicht wie ich es dir noch verständlicher machen soll? Der Vektor P beschreibt die Punkte der Ellipse in Polarkoordinaten.

Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Polarkoordinaten, okay.

Also ich denke, es ist einfacher, die ganze Konstruktion so zu transformieren, dass es auf die Schnittpunktberechnung eines Kreises mit einer (Ursprungs-)Geraden hinausläuft. Anschließend transformiert man dann zurück, und dann kann man die Polarkoordinaten bestimmen. Jedenfalls würde ich es so machen. Es sollte dabei dann auch egal sein, ob a oder b größer ist.

Ich hoffe, man kann die Skizze im Anhang erkennen.

Ich frage mich nur... wozu braucht man das?