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[Tutorial] Quadratische Gleichungen vollständig lösen

Ein Thema von Wolfgang Mix · begonnen am 24. Jul 2009 · letzter Beitrag vom 10. Apr 2010
Antwort Antwort
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Benutzerbild von Wolfgang Mix
Wolfgang Mix

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1.188 Beiträge
 
Delphi 2005 Personal
 
#1

[Tutorial] Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 14:48
Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form

y = a*x^2 + b*x +c (1)

Die Lösung(en) findet man bei y = 0

a*x^2 + b*x + c = 0 (2)

Teilt man (2) durch a, erhält man die Normalform einer quadratischen Gleichung:

x^2 + p*x + q = 0 (3), wobei p = b/a und q = c/a

Die Lösung(en) erhält man mit der Formel:

x1,2 = -p/2 +- sqrt(sqr(p/2)-q))

4 Möglichkeiten sind zu beachten:

1.) Wenn a = 0 ist, liegt keine quadratische Gleichung vor.
2.) Wenn der Radikand sqr(p/2)-q Null ist, gibt es nur eine reelle Lösung.
3.) Wenn der Radikand positiv ist, gibt es 2 reelle Lösungen
4.) Wenn der Radikand negativ ist, gibt es 2 komplexe Lösungen

Anmerkung zu (4): sqrt(-1) ist die imaginäre Zahl i

Delphi-Quellcode:
procedure TForm2.Button1Click(Sender: TObject);
var a,b,c,Radikand,wurzel,p,q,x1,x2,im,re:real;
begin
  a:=StrToInt(Edit1.Text);
  b:=StrToInt(Edit2.Text);
  c:=StrToInt(Edit3.Text);
  if a=0 then showmessage('Keine quadratische Gleichung');
  try
    p:=b/a;q:=c/a;
  except
     on E : Exception do
     begin
       ShowMessage('Exception class name = '+E.ClassName);
       ShowMessage('Exception message = '+E.Message);
     end;
  end;

  Radikand:=sqr(p/2)-q;

  If Radikand=0 then
  begin
     x1:=-p/2;
     Edit4.Text:= 'x = ' + FloatToStr(-p/2);
     Edit5.Text:='';
     Label6.Caption:='Nur eine Lösung!';
  end;

  If Radikand>0 then
  begin
     x1:=-p/2+sqrt(Radikand);
     x2:=-p/2-sqrt(Radikand);
     Edit4.Text:='x1 = ' + FloatToStr(x1);
     Edit5.Text:='x2 = ' + FloatToStr(x2);
     Label6.Caption:='2 relle Lösungen!';
  end;

  If Radikand<0 then
  begin
      Radikand:=-Radikand;
      re:=-p/2;
      im:=sqrt(Radikand);
      Edit4.Text:=FloatToStr(re) + ' + '+ FloatToStr(im) + ' i';
      Edit5.Text:=FloatToStr(re) + ' - '+ FloatToStr(im) + ' i';
      Label6.Caption:='2 komplexe Lösungen!';
  end;
end;
[edit=TBx]Das Thema dient inzwischen mehr der Erstellung eines Turorials. Wenn ein solches fertig gestellt ist, wird das Thema entsprechend verschoben, Einzug in die CL wird es sicherlich nicht finden. Dafür habe wir dann ja die Tutorial-Sparte. Mfg, TBx[/edit]
Angehängte Dateien
Dateityp: zip quadratische-gleichungen_881.zip (343,6 KB, 28x aufgerufen)
Dateityp: pdf quadratische_gleichungen_750.pdf (363,4 KB, 25x aufgerufen)
Wolfgang Mix
Delphi-PRAXiS - Die freundliche Community mit Grüßen aus der MarzipanWeltHauptstadt
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fwsp
(Gast)

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#2

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 14:56
Zitat von Wolfgang Mix:
If Radikand=0 then
die stelle könnte kritisch sein, denn so ein real lässt sich nicht gern mit einem festen wert vergleichen.
eine möglichkeit um das zu umgehen: einen gewisse abweichung mit einzuberechnen.

//edit
artikel von luckie dazu: http://www.michael-puff.de/Artikel/Fliesskomma.shtml
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Benutzerbild von xZise
xZise

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4.303 Beiträge
 
Delphi 2009 Professional
 
#3

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 15:01
Muss Radikand = 0 problematisch sein? Ich würde behaupten die 0 lässt sich doch darstellen?

MfG
xZise
Fabian
Eigentlich hat MS Windows ab Vista den Hang zur Selbstzerstörung abgewöhnt – mkinzler
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fwsp
(Gast)

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#4

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 15:02
Zitat von xZise:
Ich würde behaupten die 0 lässt sich doch darstellen?
und der andre teil?
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Benutzerbild von Wolfgang Mix
Wolfgang Mix

Registriert seit: 13. Mai 2009
Ort: Lübeck
1.188 Beiträge
 
Delphi 2005 Personal
 
#5

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 15:24
Wie wär's denn damit:

If (Radikand < 1e99) or (Radikand >1e-99) then
Wolfgang Mix
Delphi-PRAXiS - Die freundliche Community mit Grüßen aus der MarzipanWeltHauptstadt
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Benutzerbild von Die Muhkuh
Die Muhkuh

Registriert seit: 21. Aug 2003
7.332 Beiträge
 
Delphi 2009 Professional
 
#6

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 15:44
Oder Math.IsZero
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Benutzerbild von stoxx
stoxx

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1.084 Beiträge
 
#7

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 16:14
ich finde dieses Beispiel als Lehrbeispiel sehr, sehr, sehhr ungeeignet, weil direkt mit den Editfeldern in den Berechnungen gearbeitet wird.
Besser wäre es, die Ausgabe immer von den Berechnungen zu trennen.
Erst Modul Eingabe, dann alle Werte zur Berechnung .. dann wieder zurück und dann Ausgabe. ..

Daten von der Visualiserung trennen
Phantasie ist etwas, was sich manche Leute gar nicht vorstellen können.
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Jakob Ullmann

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Lazarus
 
#8

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 16:30
Also die Lösungsformel liest sich so (in Textform) sehr bescheiden. Ich würde vorschlagen, dafür ein Bild einzufügen (z. B. von der Wikipedia, oder von einem LaTeX-Onlineservice, oder halt vom eigenen Webscape). Desweiteren ist es wohl angenehmer, die Formel entsprechend für die allgemeine Form anzupassen. Klar ist so die Herleitung schöner, aber anwenden lässt es sich so nicht so schön.

@stoxx: Prinzipiell hast du da ja recht, aber wegen einer quadratischen Gleichung eine neue Unit aufzumachen, ist vielleicht etwas übertrieben. Klar, wenn da noch mehr dazukäme, wäre es sinnvoll.
Jakob
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Benutzerbild von stoxx
stoxx

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1.084 Beiträge
 
#9

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 17:16
Zitat von Jakob Ullmann:
@stoxx: Prinzipiell hast du da ja recht, aber wegen einer quadratischen Gleichung eine neue Unit aufzumachen, ist vielleicht etwas übertrieben. Klar, wenn da noch mehr dazukäme, wäre es sinnvoll.
ich meinte keine neue Unit, sondern eine ausgelagerte Funktion reicht vollkommen, die als Rückgabewert einen Array of "Lösungen" hat.
gibt ja manchmal eine, zwei oder keine Reelle Lösung ..

und es geht auch darum, sich sowas erst gar nicht anzugewöhnen, wie der Threadersteller es getan hat.
Übung und Gewohnheit.
Phantasie ist etwas, was sich manche Leute gar nicht vorstellen können.
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Benutzerbild von Aphton
Aphton

Registriert seit: 31. Mai 2009
1.180 Beiträge
 
Turbo Delphi für Win32
 
#10

Re: Quadratische Gleichungen vollständig lösen

  Alt 24. Jul 2009, 18:21
Zitat von stoxx:
ich meinte keine neue Unit, sondern eine ausgelagerte Funktion reicht vollkommen, ...
Wenn wir schon dabei sind

Delphi-Quellcode:
type
  TDoubleArr = Array of Double;

function SolveQuadraticEquation( A, B, C: Double ): TDoubleArr;
var
  d: Double; // diskriminante (das was unter SQRT steht)
begin
// ax² + bx + c = 0
  if A = 0 then
    Exit;
  B := B / A;
  C := C / A;
// Diskriminante berechnen
  d := SQR(B/2) - C;
  if d > 0 then
  begin // zwei Lösungen
    SetLength( Result, 2 );
    Result[0] := -B/2 + SQRT( d );
    Result[1] := -B/2 - SQRT( d );
  end else
  if d = 0 then
  begin // eine Lösung
    SetLength( Result, 1 );
    Result[0] := -B/2;
  end;
// else -> keine Reelle Lösung
end;
das Erkennen beginnt, wenn der Erkennende vom zu Erkennenden Abstand nimmt
MfG
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