Hey,
Das gleich Problem hatte ich vor kurzem mit Microsoft Outlook. Das keine Popups kommen liegt an IMAP, weshalb genau kann ich dir nicht sagen.
Da ich grade kein Thunderbird zur Hand habe, kann ich dir auch nicht die genaue Lösung für Thunderbird geben, doch ich kann dir sagen wie ich es unter MSO gelöst habe. Vielleicht hilft dir das weiter
Bei MSO gibt es unter Extras den Punkt "Regeln und Benachrichtigungen", dort kann man sich Regeln für alles mögliche erstellen, auch fürs Erhalten von E-Mails über Konto
ZZZ@YYY.de.
Jetzt müsstest du nur noch schaun wie das ganze unter Thunderbird funktioniert