Um noch einen Beweis für die Divergenz der Reihe 1/n zu liefern.
Es sei zu bemerken: konvergente Reihe => Cauchy-Folge (der Abstand von Folgegliedern konvergiert gegen 0).
Wir zeigen nun, dass die Reihe 1/n keine Cauchy-Folge ist und somit insbesondere auch keine konvergente Folge sein kann, obwohl 1/n gegen 0 konvergiert.
Sei s_n die n-te Partialsumme. (Also die Summe von i = 1 bis n)
Wir erkennen s_2n - s_n = 1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n >= n*(1/2n) = 1/2
Es folgt also, dass der Abstand zwischen bestimmen Folgegliedern nicht beliebig klein wird. Somit kann es keine Cauchyfolge sein und letztlich auch keine konvergente Folge. Die Bedingung a_n -> 0 ist also nur eine notwendige Bedingung und das auch nur für absolut konvergente Folgen. Schließlich kennt ja jeder den
Umordnungssatz von Riemann, nachdem konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihen so umgeordnet werden können, dass jeder beliebige Wert als Grenzwert angenommen wird.
[Offtopic]
Wo wir gerade bei Mathe sind:
Es sei Z := {(x, y, z) ∈ ℝ³: x²+y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤1} offensichtlich ein Zylinder (!).
Berechne das Intergal auf Z über z*exp(-z(x²+y²)).
Ich biete -e*π/2...?