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Danny92

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Delphi 10.2 Tokyo Starter
 
#1

Gauß-Verfahren - Matrix lösen

  Alt 29. Aug 2015, 04:40
Hallo.
Nachdem mein Algorithmus zur Erstellung einer Dreiecksmatrix endlich fertig ist, muss ich nun leider feststellen, dass dieser bei größeren Matrizen (>12 Unbekannte/Zeilen) schon einige Minuten in Anspruch nimmt. (Selbstverständlich nimmt der Rechenaufwand mit der dritten Potenz der Anzahl der Unbekannten zu)

Wer sich meinen Code im Anhang anschauen wird, wird feststellen, dass dies aufgrund der aufwändigen Umsetzung mit Stringrechnung nicht verwunderlich ist.
Allerdings bin ich auf den Datentyp string umgestiegen, da ich einen ganzzahligen Datentypen benötige, und der größte Ordinaldatentyp, den es in Delphi gibt, ist in erster Linie erst einmal nur Integer. Da dieser jedoch nur bis 2^31-1 (also nur ca. 2,1 Mrd.) reicht, ist man da im mathematischen Sinne sehr schnell an den informationstechnischen Grenzen angelangt. (Wie groß ist in der Mathematik schon eine Zahl mit nur 10 Dezimalstellen, im Vergleich zu einer mit z. B. 1000 Stellen?)

Gleitkommazahlen wie extended sind in der Hinsicht ein gutes Vorbild, jedoch für meine Zwecke nicht zu gebrauchen, da ich Operationen Div und Modulo (Divisison mit Rest) benötige, die mit Kommazahlen leider Gottes nicht funktionieren...Also habe ich meine eigenen Methoden (+, -, *, /) implementiert, die mit (unbegrenzten) Strings rechnen und das jeweilige Ergebnis als String wieder ausgeben können. (z. B. function APlusB(A, B: TPoint): TPoint; //TPoint als Bruch (X Zähler, Y Nenner zu verstehen)

Code:
type
  TPunkt = Packed Record //Bruch mit X als Zähler und Y als Nenner
X: String;
Y: String;
end;

function APlusB(A, B: TPunkt): TPunkt; //Addiere zwei Brüche
begin
 //und so weiter
end;
Lange Rede, kurzer Sinn:
Ist es möglich und wenn ja wie, den Code hinsichtlich der Effizienz und des Rechenaufwandes zu optimieren um bei großen Matrizen schneller ans Ziel zu kommen?
Es sollte doch möglich sein, bis zu 40x40 große Matrizen in einer passablen Laufzeit zu lösen.
Am einfachsten wäre es sicherlich, einfach auf extended umzusteigen, aber
1. können da durch die vielen Rechenschritte enorme Rundungsfehler auftreten (nur Brüche sind exakt und eindeutig, extended ist leider nicht beliebig genau) und
2. wird mir extended für z.B. Modulo und damit für die Bestimmung des ggT oder kgV nichts nützen.

Praktisch ist mein Taschenrechner bei der Lösung von Matrizen in die Dreiecksmatrix mittels Gauß mindestens 10x so schnell...aber dennoch exakt!
Ich möchte keine Kompromisse eingehen - schnell UND exakt.

Ist es vielleicht doch ohne viel Aufwand möglich, einen eigenen, viel größeren ganzzahligen Datentypen - in der Größenordnung wie extended - zu implementieren? Und wenn ja, wie? Dann könnte ich mir das ganze aufwändige Gedattel mit den Strings sparen, denn ich bin sicher da liegt die größte Bremse.

Schon mal lieben Dank für die weisen Antworten

PS: Code und Programm im Anhang, bei diesem würde die Lösung einer 40x41 Ref Matrix mindestens unübertrieben Stunden dauern!!
Angehängte Dateien
Dateityp: zip Matrizenrechnung1.zip (295,4 KB, 23x aufgerufen)
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