Wenn man mit "Schluss" nur die Definition des "=>"-Operator/der Implikation meint ist das korrekt. Aus einer falschen Annahme kann nur Wahres folgen. Das ist aber eine Festlegung aus formalen Gründen und hat außerhalb der Logik keinen wirklichen Sinn/Aussagekraft.
Deswegen versuchen wir auch, unsere Systeme konsistent zu halten. Ich verwende allerdings nur ungern die Implikation beim Kombinieren von Axiomen. Axiome sind eher vergleichbar mit einer Vektorbasis. Wenn man dann Axiome kombiniert, spannen diese die Menge der in dem System beweisbaren Aussagen auf.
Aber selbst innerhalb der Logik stimmt dies nur wenn man nur einzelne Schritte betrachtet.
Man will aber keine "lokale" Wahrheit, sondern globale Wahrheit. Die Wahrheit der gesamten Aussage wäre:
(1=2) und (1=2=>2=1) und (1=2 => 1+2=3) und (2=1 => 2+1=3)
Da die erste Aussage falsch ist, ist die Verundung mit dem Rest auch falsch.
Technisch gesehen müssten am Anfang der Aussage noch die Verundung mit den Grundaxiomen der Logik und der Rechenregeln stehen. Es fehlt also der Kontext.
Kurz gesagt: Axiome sind Annahmen. Wie definierst du aber, dass eine Annahme falsch ist? Dafür brauchst du wieder Kontext, und wo nimmst du den her? Den musst du auch erst wieder definieren, und damit drehst du dich im Kreis.
Normalerweise wäre das wohl ein Detail, bei dem Thema finde ich es aber wichtig. Wahr als Ergebnis der Implikation mit einer falschen Prämisse ist ein technischer Trick, wahrscheinlich damit Ableitungsschritte unabhängig voneinander ausgeführt werden können.
Dieses "Wahr"-Ergebnis ist aber nur ein Hack. Man hätte genausogut (und wie ich finde sinnvoller) Implikationen mit falschen Prämissen das Ergebnis "Falsch" zuordnen können.
Die Implikation ist kein Trick, und kein Hack, sondern macht vollkommen Sinn. Nehmen wir an, wir haben Axiome {a, b, c}, und wir können aus (a und b) -> F herleiten. (a und b) <-> F würde wenig Sinn machen - schließlich kann bspw auch (b und c) -> F auch gelten, und wenn wir dann a aus dem System entfernen, gilt F immernoch, (a und b) <-> F wäre aber falsch. (Triviales Beispiel: F = b)
aus einer falschen annahme kann nur wahres folgen.
1=2
1=2 (+)
-------
2=4 (=)
Mael hat hier vollkommen recht. Im System, das durch die Addition wie gewohnt, und 1=2 aufgespannt wird, ist 2=4 auch eine beweisbare, und damit wahre Aussage. Dieses System macht zum Beschreiben der realen Welt nicht zwingend Sinn, ist aber als theoretisches Mittel nicht unbedingt unnütz. Ich verstehe nicht ganz, was du mit deinem Beitrag sagen wolltest. Ohne zusätzlichen Kommentar oder Erklärung wird man dich kaum verstehen.
Anderer Ansatz: Was ist, wenn man das Gegenteil (nicht) Beweisen kann? Können wir beweisen, dass wir nicht eine Computersimulation eines übergeordneten Wesens sind? Wenn wir beweisen könne, dass wir es nicht sind? Sind wir dann real?
Wenn wir das Gegenteil beweisen können, ist die ursprüngliche Aussage falsch (oder der Beweis wird durch ein inkonsistentes System aufgespannt).
Wenn wir etwas nicht beweisen können, können wir keine Schlüsse daraus ziehen. Bspw. können wir die Kontinuumshypothese nicht beweisen, egal ob sie richtig oder falsch ist.