Um die Sache hier abzuschließen. Das "OnNeedClientCert" funktioniert bei mir nicht. Im Thread "https://quality.embarcadero.com/browse/RSP-15857" wurde mir bestätigt, dass es aber funktioniert. Ich hatte dazu ein kleines Test-Programm geschrieben. Nun wird der Fall wieder untersucht. Mal gespannt, wann es da eine Lösung gibt. Zwischenzeitlich habe ich mir mit den ICS-Komponenten ("ICS - Internet Component Suite - V8 - Delphi 7 to
RAD Studio 10.3 Rio") geholfen. Hilfreich ist dabei das Test-Projekt "OverbyteIcsHttpsTst".