Warum soll es denn die Enter-Taste sein? Immerhin gibt es für das Kontext-Menü ja schon eine dedizierte Taste:
Menü-Taste Kurzer Einwand an der Stelle: Nicht jede Tastatur hat eine solche Taste.
Vielleicht passt Enter aber auch einfach in die Bedienung des restlichen Programms. Wer weiß.
Die TPopupMenu Komponente hat eine Popup() Methode. Der kannst du die X und Y-Koordinaten übergeben. Eventuell hilft in dem Zusammenhang noch ClientToScreen() und ScreenToClient() weiter.