Ich habe nun eine halbwegs brauchbare Lösung gefunden.
Die Demo31 (EchoServer) lässt sich als chat umbauen. Sie ist mit den WebSockets eines Browsers kompatibel.
Als Windows Client ist leider nichts in dem Paket dabei, aber ich habe in den weiten des Webs etwas auf
Indy Basis gefunden.
Unter "IdWebSocketSimpleClient" wird man fündig.
Damit konnte ich den EchoServer erreichen.
Ob letzteres unter Android läuft weiß ich nicht, aber im "Notfall" geht dann der Browser.