Nach langem Googlen habe ich folgendes gefunden, wie man mit den Platform-Tools die Berechtigung testweise freischalten kann:
C:\tmp\platform-tools>adb shell appops set
com.embarcadero.Project2 MANAGE_EXTERNAL_STORAGE allow
Nach Eingabe dieses Kommandos funktioniert das Schreiben in den gewünschten Verzeichnissen!
Nun muss ich das irgendwie ins Projekt bekommen, aber hier weiß ich nun nicht mehr weiter...
Ciao
Stefan