Beliebter nicht unbedingt, aber POST/GET/HEAD ist einfach das, was im WWW über HTTP am meisten benutzt wird (für Webseiten) und daher auch hierfür öfters genommen wird.
Im Netz findet man auch viele Beispiele mit CURL ... vielleicht auch die erstmal durchprobieren und wenn es funktioniert, dann Dieses übernehmen und mit REST-Debugger und der Delphi-Komponente nachmachen.
Windows CURL
Windows Wget PUT
Windows CURL PUT
Windows CURL PUT REST
...