Wie sieht denn TPath.GetPublicPath aus?
War da nicht der Programmname im Pfad mit enthalten, so ala
storage/emulated/0/android/data/
com.embarcadero.testapp/
Kann sein, dass die andere App auf dieses Verzeichnis einfach keinen Zugriff hatt.
Versuche doch mal irgendwas von TPath.Shared.....
Oder alternativ den Download-Ordner benutzen.
PS: Es ist bei manchen Pfaden so, dass sie sich rechtemäßig unterschiedlich verhalten, wenn man sie intern hat, oder wenn es eine SD-Karte gibt und sie dann da drauf liegen.