Unendlich <> Unendlich!

[JasonDX]

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

Ok, bevor wir weitermachen, kläre ich jetzt einfach nur mal folgende Frage: Bildet (R#\{-∞,∞}, +, *) einen Körper? Oder anders ausgedrückt: Wie sind + und * auf R# definiert? Diese Frage zielt insb. auf die Definition von * und + auf Elemente in R#\{-∞,∞} ab.

Deine Frage ist ziemlich sinnlos, weil die Menge R#\{-∞,∞} naürlich R ist und mit den auf R unveränderten Operation + und * einen Körper bildet.

Die Frage ist keineswegs sinnlos. Wie dahinter beschrieben gings mir darum, ob + und * neu definiert werden, d.h. ein anderes Verhalten beschreiben könnten als die "gewöhnliche" Addition/Multiplikation der rellen Zahlen oder einfach diese einfach nur erweitern.
Die Frage stellt sich deshalb: Wären * und + anders definiert, könnte man Tarskis Axiome darauf nicht anwenden, und vllt. würde das auch keinen Widerspruch geben - das hinge dann von der Definition von + und * ab. So aber bilden die gegebenen Rechenregeln einen Widerspruch, wie bewiesen.

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

Wenn nun R erweitert wird, und mit + und * gerechnet wird, wird also mit einem Tupel (R, +, *) gearbeitet.

Nein, mit (R#,+,*).

Ich meinte als Basis für die Erweiterung. Das, was ich mit meiner Frage im letzten Beitrag klären wollte.

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

Entweder es ist nicht der Körper der reellen Zahlen gemeint, womit der gesamte Absatz im Artikel sinnbefreit wäre, da man zwar die Operatoren für manche Elemente beschreibt, aber nicht für alle,

Du scheinst keinen Sinn zu sehen, andere wohl schon. Zumindest soviel Sinn, daß es sogar modelhaft hardwaremäßig implementiert wird.

Zum einen wäre es in der Tat sinnfrei, Operationen zu verwenden, die nicht vollständig definiert sind, zum anderen: Die FPU implementiert ∞ um zu zeigen, dass das Ergebnis einer Operation zu groß war um intern dargestellt werden zu können, nicht weil ein entsprechendes mathematisches Konzept dahinter Sinn machen würde. R + { IchBinKeineZahl } muss auch nicht Sinn machen, bloß weil die FPU ein NaN kennt...

Zitat von gammatester:

Zitat von JasonDX:

oder man beruht sich tatsächlich auf den Körper der reellen Zahlen, was aber zu einem Widerspruch führt, wie oben gezeigt.

Ich sehe keinen Widerspruch, da sich Deine Argumenation auf eine andere Struktur bezieht, denn niemand will beweisen oder axiomatisch fordern, daß ∞ eine relle Zahl ist.

Niemand hat behauptet, dass ∞ eine reelle Zahl ist. Ich habe bloß gezeigt, dass die vorgeschlagenen Rechenregeln mit den Axiomen der reellen Zahlen im Widerspruch stehen. Nicht mehr, aber auch nicht weniger.
Zwar mag man nun argumentieren, dass (R#, +, *) dann eben einfach nur ein komplett neues Konzept ist, das unabhängig von (R, +, *) getragen wird - dann muss (R#, +, *) aber auch axiomatisch neu definiert werden, und darf (bzw. sollte) nicht auf den Axiomen der rellen Zahlen basieren, im Sinne von "ich nehme einfach R, füg 2 Elemente hinzu und erweiter + und *".

Zitat von gammatester:

zB ist es mM irrelevant, daß (jfheins) 1+x > x für alle x aus R gilt, aber nicht für alle x aus R#. Das gleiche trifft auch auf C zu

Das ist so nicht richtig. Zum einen sind die komplexen Zahlen keine "Bereichserweiterung", sondern eigentlich ein Vektorraum, zum anderen ist ein Vergleichsoperator für C nicht definiert.

Zitat von gammatester:

Aber ich werde nicht weiter an dieser Diskussion teilnehmen, weil offensichtlich kein Interesse an dem -gar nicht von mir angestoßenen- Thema besteht

Wieso besteht kein Interesse? Wir diskutieren hier doch eigentlich relativ fleißig - wir sind uns nur nicht einer Meinung

greetz
Mike