Gleichung umformen

[Namenloser]

Schon lange keine Geometrieaufgabe mehr gerechnet, deshalb habe ich mich mal dran versucht. Habe aber nicht überprüft, ob es stimmt, ohne Gewähr...

Die Gerade wird angegeben durch einen Punkt, der auf der Geraden liegt (s), und einen Richtungsvektor (v). Der Kreis liegt im Ursprung und hat den Radius 1.

[Bjoerk]

OK. Das hab ich ja auch befürchtet, daß man die Fälle 90/180° abfangen muß. Außerdem gibt's ja noch Pie und Arc Schnittpunkte zu berechnen. Dann lass ich's lieber so wie ich’s hab (Berechnung der Schnittpunkte für Ellipse und Co. temporär in Polygon umwandeln und IntersectLines). Thanx!

[Namenloser]

Wenn man mit Vektoren rechnet (siehe meine Lösung), muss man nichts abfangen.

[Chris211183]

es kommt immer darauf an, wie man die Koordinaten einer Geraden beschreibt, jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !
Ich würd es auch auch meinem Vorredner nachmachen, wobei man bei einer Ellipse darauf achten muss, dass ein kreis auch eine Ellipse ist

vielleicht hilft Dir das weiter...

[Medium]

Zitat:

jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !

Hierzu würde ich gerne mal einen Beweis sehen. Nicht um überheblich zu klingen, sondern weil mich es echt interessieren würde. (Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.)

[Sir Rufo]

Zitat von Medium:

Zitat:

jede Gerade, ist im Unendlichen eine Kurve !

Hierzu würde ich gerne mal einen Beweis sehen. Nicht um überheblich zu klingen, sondern weil mich es echt interessieren würde. (Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.)

Nimm dir einen beliebigen Punkt im Abstand ∞ zur Geraden.
Dann ist der Abstand von diesem Punkt zu jedem Punkt auf der Geraden auch ∞.
Daraus folgt, dass die Gerade in diesem Fall eine Kurve sein muss

Oder andersherum, der Kurvenradius einer Geraden ist ∞

[Medium]

Das würde ja voraussetzen, dass ∞ eine Zahl ist, mit der ich konkrete Abstandsbestimmungen durchführen könnte. Da aber doch selbst "∞-∞ := undefined" gilt (und jede andere triviale Operation mit ∞ als Operand ebenso), kann dies nicht wirklich der Beweis sein. Das muss anders gehen.
Sprachlich leuchtet die Begründung ein, aber selbst da ist es noch immer "nur" eine Begründung. Kein Beweis, wie ich ihn mir jetzt vorgestellt hatte. Ich würde hier gerne doch wirklich mathematische eindeutige Terminologie sehen, kein Deutsch.

Der Kurvenradius ist schon eine gute Sache, aber das sagt noch immer nicht, warum eine Gerade dann gerade in der Unendlichkeit erst eine Kurve ist. Die Strecke (0,0)(0,1) hat denselben Kurvenradius.

[Namenloser]

Zitat von Medium:

Zumal ich erst kürzlich lernen durfte, dass ∑(i), i := 1 → ∞ = -1/12 ist. Völlig gegen jegliche Intuition, aber dennoch beweis- und anwendbar.

Was ist denn hier mit ∑ gemeint?

Zu der Sache mit Geraden als Kurven: Wenn damit gemeint ist, dass zwei unendlich lange Geraden sich schneiden, dann hab ich dazu einen etwas informellen Beweis: Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem durch jede Kante eine Gerade geht. Jetzt zieh an einer der Ecken des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Wenn du immer weiter ziehst, dann geht „offensichtlich“ der Winkel an der 3. Ecke gegen 90°. Da dann zwei Winkel 90° haben und die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, folgt daraus, dass der Winkel zwischen Hypothenuse und der längeren Kante des Dreiecks gegen 0 geht, und damit auch der Winkel zwischen den Geraden durch diese Kanten, was ja bedeutet, dass sie annähernd parallel werden (sieht man ja auch). Aber trotzdem schneiden sie sich ja per Definition...

Hier ist halt nur nicht bewiesen, dass der eine Winkel da wirklich gegen 90° geht. Allerdings ist mir die Konstruktion auch einfach so in der Mittelstufe eingefallen und ich hatte eigentlich nicht vor einen Beweis zu konstruieren, sondern wollte nur wissen, wo mein Denkfehler ist. So habe ich ausgesehen, als meine Mathelehrerin dann meinte, dass zwei Geraden sich wirklich im unendlichen schneiden:

[Medium]

Das ∑ ist ein großes Sigma und steht i.A. für die Summe über einen Term mit iterierbarem Anteil - in dem Fall i. Eigentlich schreibt man die Laufvariable mit Startwert unter das Sigma, und Zielwert darüber, aber ich glaube das Forum unterstützt keinen Tex-like Formelstring mit dem das hier so möglich gewesen wäre. Da steht also quasi "1+2+3+4+5+6+7+......=-1/12".

Zu deinem Beweis mit dem Dreieck: Eigentlich nicht. Da du die Geraden ja auseinander ziehst, streben sie unendlich nah an Parallelität. Das heisst, du hast dort einen Grenzprozess gegen unendlich, was aber nicht das selbe ist, wie zwei fertige stehende parallele Geraden.

Zur besseren Vorstellung: Die als Grenzprozess ausgeführte Nullstelle von f(x)=1/x ist entweder -inf oder +inf, je nach dem von welcher Seite du kommst. Grenzprozesse sind ein ganz eigenes Tierchen. Man müsste da schon anders dran gehen - die Annahme müsste z.B. lauten:
g1 := (0,0) + a(1,0)
g2 := (0,1) + b(1,0)
g1 ∩ g2 ≠ {} (g1 geschnitten g2 ungleich einer leeren Menge)

Dies müsste man auf mathematischem Weg beweisen, dann könnte man die Aussage "zwei Parallelen schneiden sich in der Unendlichkeit" gelten lassen zu können. Mit dem Dreieck wäre lediglich bewiesen, dass sich zwei Geraden, die gegen Parallelität streben sich im unendlichen schneiden. Tut mir leid, deiner Lehrerin da wiedersprechen zu müssen.

Letztlich aber hat das mit der Frage nach der "Kurve" nichts mehr am Hut denke ich. Vielleicht wäre es auch zunächst mal interessant zu erfahren, was Chris211183 für eine Definition von "Kurve" ansetzt. Das könnte ein nicht ganz unwichtiger Aspekt hier sein =)