Du könntest die Länge des Strings vorher mit der Länge des Strings nach dem Ersetzen der Leerzeichen durch "nichts" vergleichen:
Delphi-Quellcode:
var
altelänge, neuelänge, anzahl: Integer;
begin
altelänge:=length(RichEdit1.Text);
neuelänge:=length(StringReplace(RichEdit1.Text,' ','',[rfReplaceAll]));
anzahl:=altelänge - neuelänge;
end;
Dieser Code entstand in Zusammenarbeit mit Mirilin im IM! 
Edit 1 und 2:
