Der Thread als solches ist nach dem Verlassen der Execute-Methode bereits zerstört.
Nur das Objekt, das den Thread gekapselt hat, existiert noch. Das Neuerzeugen des Objekts kostet eigentlich fast keine Zeit.
Warum sollte man das alte Objekt dann wiederverwenden?
Das Neuerzeugen des Threads kann etwas Zeit benötigen, aber wir sprechen hier wahrscheinlich von weniger als einer Millisekunde.

Vieleicht interessiert dich in dem Zusammenhang das Konzept eines Threadpools.
Man erzeugt nicht mehr den Thread sondern die auszuführende Aufgabe als Klasse.
Diese übergibt man an den Threadpool zur Ausführung.
Ist die Aufgabe abgearbeitet, kann man diese danach erneut an den Threadpool übergeben.

Lass doch deinen Code fast einfach, wie er ist:

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Delphi-Quellcode:

Procedure TMyThread.Execute;
Begin
  while not terminated do
    case TriggerEvent.WaitFor(-1) of
      wrSignaled : ExecuteTheAction();
      wrTimeout,
      wrAbandoned : Terminate;
      wrError : { Fehler loggen };
    end;
end;

procedure TMyThread.RestartExecution;
Begin
  TriggerEvent.SetEvent;
end;

Constructor TMyThread.Create;
Begin
  ...
  TriggerEVent := .Create(nil, True, False, nil);
...

(Ungetestet, nur hingetippt)

Erzeuge den Thread. Er macht erst einmal nichts, sondern wartet, bis Du 'RestartExecution' aufgerufen hast.
Dann erledigt er seine Aufgabe und legt sich wieder schlafen.

Alternativ kannst Du dir mal den Workerthread-Poolanschauen. Dort wird das Konzept eines Threads etwas anders behandelt. Vielleicht ist das was.