Gedrehter Gradient im Rechteck

[Namenloser]

Hier noch mal als Skizze.

[Medium]

Ok, so weit so gut. Ich habe jetzt einfach mal naiv den Schnitt gebildet:

S: Vektor (sin(φ) cos(φ))
K: Gerade durch C im Winkel φ
K': Senkrechter Vektor zu K (-Ky Kx)
N: Gerade durch E0, senkrecht zu K

Code:

    /sin(phi)\
S = |        |,
    \cos(phi)/


K = C - aS,

     /-Cy + a*cos(phi)\
K' = |                |,
     \ Cx - a*sin(phi)/

N = E0 + bK'

Ziel: N = K

(Das φ kennt die Code-Box leider nicht )

Ich habe das mal ausmultipliziert und nach b gelöst, und dies eingesetzt um nach a auflösen zu können. Aber irgend etwas passt da gewaltig nicht. Ich komme auf eine quadratische Gleichung für a, also 2 Lösungen! Das dürfte beim Schnitt von 2 Gerade doch überhaupt nicht sein. (Und der Term ist ein höllischer Rattenschwanz.)
Dazu kommt, dass "-Cy + a*cos(φ)" nicht 0 werden darf, und ich für den Fall auch noch die komplett anders herum aufgebaute Lösung brauche. (sin(φ)+cos(φ) darf auch nicht 0 werden, aber das sollte es ja nie.)

Ich befürchte hier grobe Denkfehler, die ich in 2 dicht beschriebenen DIN A4 Seiten mit Monster-Termen nicht mehr finde. Die Lösung muss vom Gefühl her viel einfacher sein.

[Namenloser]

Eigentlich sollte der Schnittpunkt sich leicht finden lassen, indem du den Punkt C ganz einfach auf die Senkrechte projizierst. Die Lösung müsste dann P = E + (cos φ, sin φ)*(C-E) sein.

Ich muss aber zugeben, ich habe auch erst ein paar Minuten lang sinnlos Variablen auf dem Papier hin- und hergeschoben, bis ich darauf gekommen bin. Hoffe, das stimmt jetzt auch. Aber müsste es eigentlich.

[Medium]

Ich hab das mal exemplarisch angewendet.

Gegeben ist ein Rechteck mit der oberen linken Ecke E bei (10,10) und einer Breite von 100 und Höhe von 30. Der Mittelpunkt C liegt dann bei (60,25).

Für φ = 0° ergibt sich korrekt der Punkt P=(60,10)
Für φ = 90° ergibt sich korrekt der Punkt P=(10,25)
Für φ = 45° ergibt sich falsch der Punkt P=(45.35,20.605) (Es sollte (10,10) sein)

Da schleicht sich auch wieder dieser blöde Faktor von Sqrt(2)/2 ein, da Sin(45°) ~= 0.707 = Sqrt(2)/2.

Die Menge der Punkte P müssten - wenn ich mir das richtig vorstelle - in etwa so wie im Anhang aussehen (rote Kurven). Die Frage ist dann aber, welche Formel gibt diese vor, bzw. sind das echt Halbkreise/-ellipsen, und wenn ja mit welchen radii?

[Medium]

Ich hab's! Bloß nicht auf die Uhr gucken, morgen wird grausig. Aber das musste gelöst werden.

Ich hatte bei meinen Umformungen den super dämlichen Fehler gemacht, die Senkrechte der Geraden K zu bilden, aber das durfte natürlich nur ihr Richtungsvektor S sein! Autsch. Dadurch fällt auch das Quadrat in meinen Umformungen weg, und es gibt am Ende nichtmals mehr DivBy0-Fallen.
Der einzige kleine Vermutstropfen: Ich muss anhand des Winkels entscheiden, welchen Eckpunkt ich nun für die Rechnung her nehme. Okay, eine lästige Fallunterscheidung, aber dafür klappt es!

Der unschuldig aussende Term: (Statt sin(φ) und cos(φ) schreibe ich mal nur und sin und cos.)

Code:

    /sin\
S = |   |
    \cos/

P0 = C - a*S
P1 = C + a*S

E := Eckpunkt, in dessen grobe Richtung eine Gerade im Winkel phi vom Punkt C aus zeigt
    (Man bildet quasi Quadranten um C)

a = Cx*sin - Ex*sin + Cy*cos - Ey*cos

Danke euch nochmals!!

[BUG]

EDIT: Jetzt hab ichs geschrieben, jetzt poste ich es noch

Du hast deine Gerade K = C - a*S. Wenn du du die Eckpunkte auf die Gerade projizierst, erhältst du Punkte auf der Gerade. Die beiden "äußeren" (minimales/maximales a) sollten die Punkte sein die du suchst.

squares.png

[Medium]

Ups, auch so ein Nachtschwärmer hm? Genau das verbirgt sich hinter meinen wilden Formeln jetzt. Danke dir trotzdem!

Im Anhang ein Bild davon, wie die Punkte P tatsächlich liegen. Meine Annahme von oben traf nicht ganz zu, aber Kreise sind es trotzdem - 4 davon sogar
(Und wenn man es sieht, erscheint es auch wundervoll logisch dass das so gehen muss.)