Ich weis, ich werde
OT, da das jetzt weniger mit reellen Zahlen als mit Brüchen zu tun hat, aber:
Der Beweis, dass √2 keine rationale Zahl ist: (Nach Euklid glaub' ich
)
Wenn √2 eine rationale Zahl ist, kann sie als unkürzbarer Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestelt werden.
Bruch: a/b
Dann gilt: a²/b² = 2
Da dann a² = 2 * b² , folgt, dass a² durch 2 teilbar ist und somit a gerade sein muss.
(Nur das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade)
Da a gerade ist ist das Quadrat von a durch 4 teilbar. Es gilt a = 2 * c und a² = 4 * c²
Da a² = 2 * b² gilt auch 2 * b² = 4 * c²
Daraus folgt b² = 2 * c², also ist b² und somit auch b duch zwei teilbar.
Daraus folgt, dass der Bruch a/b mit zwei kürzbar ist, ein Widerspruch zu unserer Ausgangshypothese.
√2 kann also nicht duch einen Bruch beschrieben werden,
und ist somit keine rationale Zahl, sondern eine irrationale.