Verschlüsselungsalgorhythmen

[negaH]

Überlege doch mal logisch:

Du hast eine Menge von Datenelementen wobei jedes Element beispielweise 256 Bit groß ist. Ergo die Cardinalität dieser Menge ist exakt 2^256, es gibt also 2^256 verscheidene Elemente in dieser Menge.

Nun ereugst du einen Hash oder meinetwegen Prüfsumme die selber aber kürzer als 256 Bit ist. Sagen wir mal 128 Bit groß. D.h. die Hashfunktion mappt alle 2^256 Elemente auf eine Menge von nur 2^128 möglichen Hashs. Ergo um eine eineindeutige Abbildung der 2^256 Elemente erreichen zu können müsste die Hashfunktion ebenfalls 2^256 mögliche Outputs erzeugen können. Kann sie aber bei 128 Bit Größe niemals. Infakt ist es so das bei 2^256 Elementen zu jedem dieser 2^256 Elemente exakt 2^128 andere Elemente gäbe die den gleichen Hash erzeugen würde. Es gibt also zu EINEM dieser 2^256 Elemente exakt 2^128 mögliche Kollisionen !

Wenn man nun die Größe der möglichen Eingangsmenge auf unendlich hoch setzt, was die größe der in der Natur existenten Datenmenge darstellt so wird es zu jedem dieser unendlich vielen Datenelementen exakt "unendlich - 2^128" mögliche Kollisionen geben. Unendlich - 2^128 == Unendlich, ergo die Wahrscheinlichkeit eines Duplikates einer 128 Bit Hashfunktion beträgt 100% - 1 / (unendlich - 2^128), defakto also 100% !

ABER, alleine diese ganz ganz kleine Differenz von 1 zu "1 - 1 / (unendlich - 2^128)" also dieses 2^128 ist für den Menschen so gewaltig groß das er praktisch gesehen nicht mehr in der Lage ist solche Kollisionen gezielt zu erzeugen !

Das Begreifen dieser Erkenntnis war es das die Mathematiker lange Zeit glauben ließen das es einen Algortihmus wie Hashfunktionen garnicht geben kann. Infinitiv betrachtet stimmt das auch heute noch denn 1 - 1 / (unendlich - 2^128) ist defakto 0,9999... mit unendlichen 9'en nach dem Komma, also gerundet 1,0.
Aber praktisch bedeutet die Differenz von 0,00000 unendlich 01 eine Differenzmenge von 2^128 möglichen Hashs und das ist schon so gewaltig groß das es praktisch unknackbar wird.

Eine Hashfunktion ist also ein mathematisches Konstrukt das aus Sicht der Unendlichkeit niemals funktioniert, aber aus Sicht UNSERER Endlichkeit, unserer zeitlichen Lebenspanne, unserer begrenzten Resourcen und unserem unendlich kleinem Wissen, sehrwohl funktioniert.

Denn wir leben und begreifen die Unendlichkeit nicht, alles ist für uns endlich und diese Endlichkeit hat aus heutiger Sicht eine Grenze bei ca. 2^128.

Gruß Hagen