Zitat von
Nicolai1605:
Ich habe gelernt, dass es nur 7 Axiome gibt (scheint auch Recht logisch)
Ist aber falsch...
Die ersten drei Aussagen sind Gesetze. Bekannt als Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Gesetze lassen sich beweisen. Axiome sind grundlegende Aussagen, die nicht belegbar sind innerhalb ihres Systems.
Aussagen 4 und 5 sind ebenfalls keine Axiome, sondern Folgerungen daraus, dass die Menge der ganzen Zahlen (also auch jede Menge, von denen die Menge der ganzen Zahlen eine (echte) Teilmenge ist) einen Ring bilden. Diese Tatsache fordert nämlich, dass es ein neutrales Element gibt. Bei der Addition ist das die 0 und bei der Multiplikation die 1.
Folglich sind auch diese Aussagen keine Axiome, sondern lediglich Folgerungen aus einem Konstrukt.
Aussage 6 ist dasselbe in grün, nur dass es diesmal um das inverse Element geht.
Und Aussage 7... keine Ahnung. Bin ich mir gerade nicht sicher, ist aber definitiv kein Axiom.
Ein Axiom (der Arithmetik) wäre bspw.
Zitat:
Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
Zitat:
Ansonsten müsste man wirklich alles an Hand dieser Axiome beweisen können. Und die Axiome in Frage zu stellen, wäre blöd...
Alle Teilgebiete der Mathematik basieren auf diesen Axiomen. Jeder Beweis wird also indirekt irgendwie auf diese Axiome zurückgreifen. Unabhängig davon, ob das die Axiome der Arithmetik oder von sonstwas sind.
Axiome in Frage stellen würde bedeuten, dass du die Fundamente der gesamten Mathematik einreißt. Wird keiner machen. Macht auch keinen Sinn. Wenn du dir die Axiome anschauen würdest (habe leider keine Liste der Wichtigsten auf die Schnelle gefunden), dann würdest du sehen, wie elementar diese sind. Das hat ja auch seinen Grund.
Was würde es denn für einen Sinn machen obiges Axiom in Frage zu stellen? Abgesehen davon, dass du eine Tatsache auch nur bedingt in Frage stellen kannst. Dass dein Computer an ist, ist eine Tatsache. Das kannst du nicht weiter in Frage stellen, wenn du gerade liest, was ich geschrieben habe. - Außer du bist Philosoph.
Siehe auch
Wikipedia: Axiom
Chris