Wenn man 2 Zahlen (a und b) vergleicht, so gibt es 3 Moeglichkeiten:
- a ist kleiner als b
- a ist gleich b
- a ist groesser als b
Wir eliminieren mal die letzte Moeglichkeit fuer unser Beispiel, weil wir davon ausgehn, dass die Zahlen sortiert sind.
Wenn wir also die Sortierte Zahlenmenge [a, b] vergleichen, kann a entweder kleiner b oder gleich b sein.
Gucken wir uns den ersten Fall an: Die rationalen Zahlen sind so definiert, dass es bei 2 verschieden grosse Zahlen (z1, z2) immer unendlich viele Zahlen gibt fuer die gilt: z1 < x < z2.
So auch fuer unser Beispiel: es gibt im ersten Fall, naemlich wenn a < b, unendlich viele Zahlen fuer die gilt a < x < b.
Betrachten wir nun die 2. Moeglichkeit, naemlich dass a = b: Dort gibt es genau 0 Zahlen, fuer die gilt a < x < b.
Das bedeutet: Wenn eine Zahl nicht gleich der anderen ist, so gibt es unendlich viele Zahlen dazwischen. Wenn 2 Zahlen gleich sind, so gibt es genau 0 Zahlen dazwischen. Es gilt auch der Umkehrschluss: Wenn es unendlich viele Zahlen zwischen a und b gibt, so ist a <> b. Gibt es keine Zahlen dazwischen, so ist a = b.
Und wo liegt jetzt der Beweis?
Man nenne mir eine rationale Zahl x, dargestellt in einem Bruch, fuer die gilt: 0.9p < x < 1