Primzahlen bis ins Unendliche

[Gausi]

Man, da ziehts einem ja die Schuhe aus, was teilweise hier so erzählt wird...

Ein bißchen Algebra zum Thema Primzahl:
Ein Element x einer Gruppe heißt prim, wenn aus x = a*b folgt, dass a oder b eine Einheit ist. Ob man da nun ein "oder" oder ein "entweder oder" stehen hat, ist genauso Geschmacksache wie "gehört 0 zu den Natürlichen Zahlen oder nicht". Meistens nimmt man aber die Einheiten nicht dazu. Dabei ist a eine Einheit, wenn es ein Element a^-1 gibt, sodass a*a^-1=e. Dabei ist e das neutrale Element, für das gilt: e*x=x für alle x.

Im Falle der ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen sind aus mathematischer Sicht nichts, womit man vernünftig arbeiten kann ) ist das neutrale Element die 1 (denn 1*x=x), gibt es die Einheiten 1 und -1 (denn man bei keiner anderen ganzen Zahl durch Multiplikation mit einer anderen Zahl das Ergebnis 1 erreichen). Und eine Zahl p ist Primzahl, wenn aus p=a*b folgt, dass a oder b (meinetwegen: aber nicht beide) 1 oder -1 ist.

Die Primfaktorzerlegung von 5 ist nicht 5*1, sondern 5.

Und dass die Mathematik nicht mehr funktionieren würde, wenn man 1 als Primzahl ansieht, ist Quatsch. Wenn man dagegen z.B. das Vollständigkeitsaxiom bei der Definition der Reellen Zahlen weglassen würde, dann würde sich einiges ändern, aber nicht bei der Definition eines Begriffs.