Prüfe als erstes mal, ob das DataSet überhaupt offen ist, sonst kriegst Du genau diese Zugriffverletzung:
procedure TframeSpenden.qryMitgliederspendenNewRecord(DataSet: TDataSet);
begin
if qryMitgliederspenden.Active then
qryMitgliederspenden.FieldByName('MITGLIEDERNR').AsInteger := frmMitglieder.MitgliederQry.FieldByName('MITGLIEDERNR').AsInteger;
end;