Quersumme erstellen die durch 9 teilbar ist

[Nikolas]

Nimm dir doch einfach eine Random-Zahl (x) , berechne die Quersumme, rechne x mod 9 und addierst diese Zahl zu x. Diese Zahl sollte dann durch 9 teilbar sein. Wenn x mod 9 kleiner als 5 sein sollte, musst du diese Zahl von x subtrahieren.
Die Lösung ist noch nicht vollständig durchdacht, aber der Ansatz ist sicher richtig.

[Urba]

Hallo,

Hab mal ein bisschen rumgeschaut und einen schönen Beweis gefunden bzw selbst formuliert :

zu beweisen ist ja :

Ist die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar, dann ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar.

also nimmt man eine Zahl a deren Quersumme durch 9 teilbar ist (Für "Quersumme" setzte ich jetzt einfach mal die Zahl in geschweifte Klammern) :

a = a0 * 10^0 + a1 * 10^1 + ... + an * 10^n

{a} = a0 + a1 + ... + an

{a}
--- = n, n € N
9

nun wandelt man die eigentliche Zahl etwas um ...

a = a0 * 10^0 + a1 * 10^1 + ... + an * 10^n
= a0 * (10^0 - 1) + a0 + a1 * (10^1 - 1) + a1 + ... + an * (10^n - 1) + an

etwas umgeformt ergibt das

a = [ a0 + a1 + ... + an ] + [ a0 * (10^0 - 1) + a1 * (10^1 - 1) + ... + an * (10^n - 1) ]

unschwer zu erkennen ist dass im 2ten Block alle Summanden durch 9 teilbar sind (10-1, 100-1, 1000-1 ...). Der erste Block wissen wir allerdings aus unserer Vorraussetzung ist auch durch 9 teilbar und somit sind ALLE Summanden von a durch 9 teilbar und somit auch a selbst !!! Damit ist bewiesen : wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist, dann ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar. (sonst wäre der erste Block nicht durch 9 teilbar)


Ich weiß dass das jetzt nicht unbedingt die Antwort auf die Frage ist, aber so lernt jeder (eingeschlossen mich) mal wieder was dazu und vielleicht hilft es auch MiniKeks weiter.

Zu seinem eigentlichen Problem würde ich immernoch sagen, dass er die Zahlen von 9 bis [beliebige Anzahl] mit einer for-Schleife durchgeht und schaut, ob die Quersumme 9 ist. Ist dies der Fall ist die Zahl - wie wir ja jetzt wissen - durch 9 teilbar und er hat seine Zahl gefunden. Von daher gesehen ist es sogar doch hilfreich dass er den Beweis kennt, denn so muss er nur die Quersumme bilden, was bedeutend einfacher ist als immer zu testen ob die Zahl durch 9 teilbar ist.

Wünsche noch schöne Feiertage :mrgreen:

Gruss
Urba

[Oxmyx]

Zitat:

Zitat von Dani

Zitat:

Doch! Die Quersumme jedes vielfachen von 9 ist durch 9 teilbar:

Toll, was hab ich denn gestern um 23:36 geschrieben *g*
Mit falsifizieren meinte ich eigentlich, du musst nur eine einzige Zahl finden, auf die meine Annahme nicht zutrifft, und du hast die Annahme widerlegt. Ich kenne leider kein Verfahren, mit dem es sich beweisen lässt. Vielleicht gibts auch keines.

Man kann durch vollständige Induktion beweisen, dass die Quersumme jedes Vielfachen von 9 durch 9 teilbar ist.

[Urba]

Vollständige Induktion ist ein Grundverfahren, richtig gut sind Beweise die nicht darauf basieren. Kennst du Euklids Beweis dass Wurzel 2 irrational ist ? Genial, weil ohne vollständige Induktion. Will hier jetzt keine Mathediskussion herbeirufen und ich hab auch nichts dagegen, aber wenn es ohne geht finde ich um einiges esthetischer!

Was hast du denn gegen meinen Beweis ?

Gruss
Urba