TV-Hinweis: Das Geheimnis der Mathematik

[Delphi-Laie]

Warum Du, Perlsau, so offenslichtlich persönlich wirst, verschließt sich mir. Das allermeiste, was Du entgegnest, wurde von mir bereits abgearbeitet. Ich habe kein Bedürfnis, mich mit Dir im Kreise zu drehen, deshalb lasse ich es ausklingen.

Real wird von Dir eben mit materiell gleichgesetzt. Nur, warum gibt es wohl verschiedene Wörter - und Begriffe (kennst Du den Unterschied?) - "real" und "materiell" - weil diese ein und dasselbe beinhalten?

Zitat:

Zitat von Perlsau (Beitrag 1327420)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327413)

Volltreffer, Du scheinst mich verstanden zu haben.

Du mich dagegen nicht :x

In der Tat. Dafür ist mir das alles zu wirr, zu unexakt, teilweise sogar falsch. Du weißt nicht einmal, was ein Gesetz ist, hältst mir aber erkenntnistheoretische Defizite vor.

Zitat:

Zitat von Perlsau (Beitrag 1327410)

Aber sind Gedanken und Vorstellungen nicht doch nur Symbole?

Ach du lieber Himmel....ist das Dein Ernst?

Zitat:

Zitat von Perlsau (Beitrag 1327420)

Du hattest doch behauptet, Mathematiker würden "etliche Jahre etwas sehr real existentes" studieren. Das einzig real existierende, das ich beim Mathematikstudium erkennen kann, sind die Mahtematikbücher, die studiert werden.

Dann frag' mal den von Dir so geschätzten Mathematiker, was er mehrere Jahre studierte und womit er sich heute noch beschäftigt und ob das, womit er sich beschäftigte, real oder eher etwas irreales ist.

Wie kann etwas irreales einen mehrere Jahre, viele sogar ein ganzes Leben beschäftigen?

Postscriptum: Fang am besten mal damit an, den Unterschied zwischen Anzahl und Zahl zu verinnerlichen.

[stahli]

Ich habe das alles wirklich nicht gewollt!
Es war wirklich nur als kleiner, netter Hinweis gedacht...

[frankyboy1974]

:lol:

[mkinzler]

Nun besitzt der Thread eher Praxisrelevanz für Physiologiestudenten

[jobo]

Zitat:

Zitat von mkinzler (Beitrag 1327469)

Nun besitzt der Thread eher Praxisrelevanz für Physiologiestudenten

Physiologie oder Psychologie? :)
Da gibt's aber sicher in beiden Fällen relevantere.

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327408)

Mit Mathematik kann man zwar vieles recht gut (und vor allem präzis) beschreiben, dennoch ist sie keine Sprache, dazu fehlt ihr auch der Code bzw. die Codierung (ich meine damit nicht die mathematische Notation, die sehr wohl ein Code ist, sondern die Mathematik selbst).

Ich habe Schwierigkeiten, deinen Satz hier nachzuvollziehen. Was macht für dich eine Sprache aus? Du meinst später, eine Sprache kann nur gesprochen werden, aber ich spreche auch nicht mit dir, trotzdem kommunizieren wir zusammen über die deutsche Sprache. Kannst du mir die Eigenschaften etwas klarer nennen, die bspw. Esperanto zu einer Sprache machen, die Mathematik aber nicht?

Mathematik - nicht ihre Wissenschaft (schon das wird oft genug nicht streng unterschieden - beschäftigt sich mit einem (sehr komplexen) Untersuchungsgegenstand, der eben keine Sprache ist.

"Mathematik beschäftigt sich mit etwas, das keine Sprache ist, deswegen ist Mathematik keine Sprache" - Diesen Gedankengang kann ich nicht nachvollziehen.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Ich wiederhole mich: Etwas, was man schon an allgemeinbildenden Schulen kennenlernt, sind Zahlen und Mengen.

Ist die Menge der natürlichen Zahlen wirklich real? Auch die der irrationalen Zahlen? In der Mathematik sind Zahlen Elemente einer Menge, über die dann argumentiert wird.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Und noch eine Wiederholung: Wenn diese nicht real - aber deswegen nicht zwangläufig nicht physisch - existieren würden, wie kämen sie dann zu dieser "Dreistigkeit", Eigenschaften zu besitzen, die wir mit unserem Geiste nicht bestimmen, sondern (leider?) nur entdecken können.

Wer, wenn nicht wir, hat bestimmt/definiert, was eine Mersenne-Primzahl ist? Und wenn wir definieren, dass jeder Mensch, der größer als 2m ist, ein Riese ist - hat dann dieser Mensch die "Dreistigkeit", ein Riese zu sein, oder haben wir ihn einfach als Riesen definiert?

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Viele scheinen nur das als real anzuerkennen (anerkennen zu wollen), was Materie, was materiell ist.

Das wird dann schon sehr philosophisch, aber: Ist für dich die Zahl 5 real? Wie siehts mit der Zahl aus, die die Kardinalität der natürlichen Zahlen beschreibt? Ist i real?

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Gesetze implizieren nicht Realität. Diese Gesetze (nennen wir sie mal aus Spaß an der Freude Axiome) entspringen lediglich unserem Geiste, unserem Intellekt.

Nein, auch hier wurde etwas verwischt. Nicht diese Gesetze entspringen unserem Geiste, sondern unsere Erkenntnis über ihre Existenz.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Die Axiome zu Kardinalszahlen sind alles andere als natürlich, wir haben sie uns selbst ausgedacht.

Das ist richtig, aber es sind ja eben auch Axiome und eben keine Gesetze. Mathematikern, das exakte Denken gewöhnt, entgeht dieser banale Unterschied nicht, dehalb auch verschiedene Begriffe.

Kannst du mir den Unterschied in der Mathematik zwischen einem Axiom und einem Gesetz erklären? Was ist ein Beispiel für ein Mathematisches Gesetz, das nicht ein Axiom ist?

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327408)

Jedenfalls zweifelt z.B. niemand ernsthaft daran, daß die 2 eine Primzahl ist, und zwar unabhängig davon, daß wir diese Eigenschaft als solche erkennen.

Wie kann das unabhängig sein? Wie kann ich sagen "2 ist eine Primzahl", wenn ich die Eigenschaft "Primzahl" nicht erkenne?

So etwas nennt man eine Behauptung, die mit einem einfachen "Woher weißt Du das?" leicht zu fällen, bloßzustellen ist.

Ok, nehmen wir an, ich weiß nicht was eine Primzahl ist. Kannst du mir erklären, warum 2 eine Primzahl ist, ohne mir gleichzeitig zu sagen, welche Eigenschaften eine Primzahl beschreiben? Das Akzeptieren, dass ein Element eine Eigenschaft besitzt, ist direkt davon abhängig, die Definition der Eigenschaft zu kennen. Auch wenn ich nachfrage, es bedarf der Definition der Eigenschaft - sonst ist die Behauptung nicht prüfbar.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Wir haben klar definiert, was eine Primzahl ist - diese Definition ist ein Ergebnis unserer Gedanken - und wenden diese Definition auf 2 an, um zu erkennen, dass 2 eine Primzahl ist.

Eben - die 2 macht (mit uns), was sie will, und nicht umgekehrt. Kommt Dir das nicht seltsam vor?

Nein, denn es ist umgekehrt. Ob ein Element einer Menge eine Eigenschaft besitzt, ist über die Definition der Eigenschaft bestimmt.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Ohne die Eigenschaft einer Mersenne-Primzahlen als solche zu erkennen, kannst du mir sagen, ob 7 eine solche ist? Ist 13 eine?

Was soll eine Eigenschaft, die nicht erkannt wird? Ohne ihre Erkenntnis kann man diese einem Objekt weder zu- (ihm eben - aus unserer Sicht! - zu eigen machen) noch absprechen. Aber weder die 7 noch die 13 scheren sich darum, ob wir ihre Eigenschaft erkennen, ja nicht mal an der Definition (wenn es denn eine ist) derselben.

Die 2 macht mit uns, was sie will, aber die 7 und die 13 scheren sich nicht um unsere Definitionen? Das klingt für mich nach einer sehr selektiven Argumentation.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327408)

Demnach werden auch Mathematiker fremder Welten diese Eigenschaft erkennen, sofern sie Mathematik betreiben und die Primzahleigenschaft als solche erkannt wurde.

Was, wenn Mathematiker fremder Welten überhaupt nicht das Konzept natürlicher Zahlen haben?Dann werden sie sich mit Primzahlen schwer tun. Ich halte es für unwahrscheinlich, dass andere Welten die genau gleichen Axiome produzieren wie wir.

Nun, wird die Primzahlverteilung in "deren natürlichen Zahlen" deshalb eine andere sein?!

Gut möglich - ich weiß es nicht. Wenn sie äquivalente Axiome verwenden, wird die Primzahlenverteilung die selbe sein. Wenn nicht, wird es eine andere sein.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Exobiologen - eine Wissenschaft mit einem rein spekulativen Untersuchungsobjekt - können nur vermuten, ob es ihren Untersuchungsgegenstand gibt, noch mehr, ob er intelligente Formen hervorgebracht hat. Aber daß diese, wenn sie Mathematik betreiben, zu anderen Ergebnissen als wir kommen, wird auch bei denen angezweifelt.

Hast du da eine Quelle dazu? Vor allem eine Ausarbeitung über die Spekulationen zu unterschiedlichen Ergebnissen würde mich interessieren, das klingt spannend.

[Delphi-Laie]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327474)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327408)

Mit Mathematik kann man zwar vieles recht gut (und vor allem präzis) beschreiben, dennoch ist sie keine Sprache, dazu fehlt ihr auch der Code bzw. die Codierung (ich meine damit nicht die mathematische Notation, die sehr wohl ein Code ist, sondern die Mathematik selbst).

Ich habe Schwierigkeiten, deinen Satz hier nachzuvollziehen. Was macht für dich eine Sprache aus? Du meinst später, eine Sprache kann nur gesprochen werden, aber ich spreche auch nicht mit dir, trotzdem kommunizieren wir zusammen über die deutsche Sprache. Kannst du mir die Eigenschaften etwas klarer nennen, die bspw. Esperanto zu einer Sprache machen, die Mathematik aber nicht?

Mathematik - nicht ihre Wissenschaft (schon das wird oft genug nicht streng unterschieden - beschäftigt sich mit einem (sehr komplexen) Untersuchungsgegenstand, der eben keine Sprache ist.

"Mathematik beschäftigt sich mit etwas, das keine Sprache ist, deswegen ist Mathematik keine Sprache" - Diesen Gedankengang kann ich nicht nachvollziehen.

Deswegen sagte ich das ja auch nicht. Aber einen Fehler entdeckte ich in meiner Aussage. Die Mathematik - nicht ihre Wissenschaft - beschäftigt sich natürlich nicht mit irgendetwas (das tun die Wisschaftler bzw. diese Wissenschaft), sondern sie ist ist es. Der Satz hätte demnach richtig:

"Mathematik - nicht ihre Wissenschaft (schon das wird oft genug nicht streng unterschieden - ist ein (sehr komplexer) Untersuchungsgegenstand, der eben keine Sprache ist."

lauten. Einverstanden?

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Ich wiederhole mich: Etwas, was man schon an allgemeinbildenden Schulen kennenlernt, sind Zahlen und Mengen.

Ist die Menge der natürlichen Zahlen wirklich real? Auch die der irrationalen Zahlen? In der Mathematik sind Zahlen Elemente einer Menge, über die dann argumentiert wird.

Das kann man - kannst Du - natürlich abstreiten. Nur kommt man / kommst Du dann in die Zwickmühle zu erklären, wie sie objektive Eigenschaften haben können, die erkenn- und nicht veränderbar sind.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Und noch eine Wiederholung: Wenn diese nicht real - aber deswegen nicht zwangläufig nicht physisch - existieren würden, wie kämen sie dann zu dieser "Dreistigkeit", Eigenschaften zu besitzen, die wir mit unserem Geiste nicht bestimmen, sondern (leider?) nur entdecken können.

Wer, wenn nicht wir, hat bestimmt/definiert, was eine Mersenne-Primzahl ist?

Auch diese rhetorische Frage, die natürlich zu bejahen ist, kann an den objektiven Eigenschaften der Menge der Mersenne-Primzahlen nichts ändern. Es ist immer das gleiche Spiel.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Viele scheinen nur das als real anzuerkennen (anerkennen zu wollen), was Materie, was materiell ist.

Das wird dann schon sehr philosophisch, aber: Ist für dich die Zahl 5 real?

Ja, wenn auch nicht materiell im physikalischen Sinne. Sie ist aus dem realen Leben durch Abstraktion der Anzahl zu gewinnen. So entstand übrigens die Mathematik.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Gesetze implizieren nicht Realität. Diese Gesetze (nennen wir sie mal aus Spaß an der Freude Axiome) entspringen lediglich unserem Geiste, unserem Intellekt.

Nein, auch hier wurde etwas verwischt. Nicht diese Gesetze entspringen unserem Geiste, sondern unsere Erkenntnis über ihre Existenz.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Die Axiome zu Kardinalszahlen sind alles andere als natürlich, wir haben sie uns selbst ausgedacht.

Ich schrieb - klar erkennbar - von Gesetzen !

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Das ist richtig, aber es sind ja eben auch Axiome und eben keine Gesetze. Mathematikern, das exakte Denken gewöhnt, entgeht dieser banale Unterschied nicht, dehalb auch verschiedene Begriffe.

Kannst du mir den Unterschied in der Mathematik zwischen einem Axiom und einem Gesetz erklären? Was ist ein Beispiel für ein Mathematisches Gesetz, das nicht ein Axiom ist?

Nein, weil ein Axiom eben kein Gesetz ist. Warum werden überhaupt ständig Axiome hier eingeworfen, obwohl ich von Gesetzen schreibe? Ergänzung: Zumindest ist ein Axiom im Gegensatz zum Gesetz nicht beweisbar.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Wie kann das unabhängig sein? Wie kann ich sagen "2 ist eine Primzahl", wenn ich die Eigenschaft "Primzahl" nicht erkenne?

Das weiß ich doch nicht, das mußt Du Dir schon selbst beantworten, wie Du so etwa sagen kannst.

Allerdings wird sich die Zahl 2 einen Teufel darum scheren, was Du von ihr behauptest, auch wenn Du ihr die Primeigenschaft absprichst.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Ok, nehmen wir an, ich weiß nicht was eine Primzahl ist. Kannst du mir erklären, warum 2 eine Primzahl ist, ohne mir gleichzeitig zu sagen, welche Eigenschaften eine Primzahl beschreiben?

Nein, wie denn auch. Vielleicht kann es ein Zauberer, etwas anhand einer Eigenschaft zu kategorisieren und gleichzeitig diese Eigenschaft zu umschiffen.

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Das Akzeptieren, dass ein Element eine Eigenschaft besitzt, ist direkt davon abhängig, die Definition der Eigenschaft zu kennen.

Nun, ist 2 auch dann eine Primzahl, wenn wir die Primeigenschaft nicht definieren? War die 2 schon vorher - schon immer - eine Primzahl, hatte also die Primeigenschaft, bevor ein Mensch darob nachsannen - na? Wird sie es auch dann noch sein, wenn die Menschheit längst Geschichte sein wird?

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327408)

Demnach werden auch Mathematiker fremder Welten diese Eigenschaft erkennen, sofern sie Mathematik betreiben und die Primzahleigenschaft als solche erkannt wurde.

Was, wenn Mathematiker fremder Welten überhaupt nicht das Konzept natürlicher Zahlen haben?

Sind sie dann überhaupt Mathematiker?

Die menschliche Mathematik entstand durch Abstraktion der Anzahl realer Objekte, und schon sind wir bei den natürlichen Zahlen.

[JasonDX]

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327480)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Ist die Menge der natürlichen Zahlen wirklich real? Auch die der irrationalen Zahlen? In der Mathematik sind Zahlen Elemente einer Menge, über die dann argumentiert wird.

Das kann man - kannst Du - natürlich abstreiten. Nur kommt man / kommst Du dann in die Zwickmühle zu erklären, wie sie objektive Eigenschaften haben können, die erkenn- und nicht veränderbar sind.

Das ist keineswegs eine Zwickmühle. Wir definieren diese Eigenschaften. Wir definieren, was eine Primzahl ist. Wir können dann analysieren, ob Elemente einer Menge (bspw. 2) diese Eigenschaft haben. Aber wir definieren die Eigenschaft. Ich sehe hier keine Zwickmühle.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327480)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327462)

Viele scheinen nur das als real anzuerkennen (anerkennen zu wollen), was Materie, was materiell ist.

Das wird dann schon sehr philosophisch, aber: Ist für dich die Zahl 5 real?

Ja, wenn auch nicht materiell im physikalischen Sinne. Sie ist aus dem realen Leben durch Abstraktion der Anzahl zu gewinnen. So entstand übrigens die Mathematik.

Du hast mein Zitat etwas verkürzt, ich bin so frei und wiederhole die Frage, weil sie deinen zu kurz gefassten Gedanken weiterträgt. Du sagst 5 sei real, aber...

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Wie siehts mit der Zahl aus, die die Kardinalität der natürlichen Zahlen beschreibt? Ist i real?

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327480)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Kannst du mir den Unterschied in der Mathematik zwischen einem Axiom und einem Gesetz erklären? Was ist ein Beispiel für ein Mathematisches Gesetz, das nicht ein Axiom ist?

Nein, weil ein Axiom eben kein Gesetz ist. Warum werden überhaupt ständig Axiome hier eingeworfen, obwohl ich von Gesetzen schreibe? Ergänzung: Zumindest ist ein Axiom im Gegensatz zum Gesetz nicht beweisbar.

Moment, wieso soll ich dir glauben, dass Axiome keine Gesetze sind, wenn du mir nicht den Unterschied zeigen kannst?
Du sagst, Gesetze sind beweisbar, Axiome nicht: Was ist ein Beispiel für ein Gesetz, und wie wird es bewiesen?

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327480)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Das Akzeptieren, dass ein Element eine Eigenschaft besitzt, ist direkt davon abhängig, die Definition der Eigenschaft zu kennen

Nun, ist 2 auch dann eine Primzahl, wenn wir die Primeigenschaft nicht definieren? War die 2 schon vorher - schon immer - eine Primzahl, hatte also die Primeigenschaft, bevor ein Mensch darob nachsannen - na? Wird sie es auch dann noch sein, wenn die Menschheit längst Geschichte sein wird?

Wie willst du die Frage nach einer Eigenschaft beantworten, wenn du die Eigenschaft nicht kennst? Wir können eine beliebige Eigenschaft nach einem Prädikat X über eine unbekannte Menge K definieren, und dann fragen ob X(k) für k in K gilt. Abgesehen von trivialen Prädikaten wird es immer k und k' geben für die X(k) gilt, und X(k') nicht gilt. Aber du kannst nicht sagen, dass X(2) gilt, wenn du X nicht näher beschreibst. Sobald X definiert ist (bspw. eben Primzahlen), kannst du X(2) behaupten und beweisen - und dann bleibt dem auch so.

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327480)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327408)

Demnach werden auch Mathematiker fremder Welten diese Eigenschaft erkennen, sofern sie Mathematik betreiben und die Primzahleigenschaft als solche erkannt wurde.

Was, wenn Mathematiker fremder Welten überhaupt nicht das Konzept natürlicher Zahlen haben?

Sind sie dann überhaupt Mathematiker?

Um dies beantworten zu können, müssten wir genauer definieren, was Mathematiker sind. :P

[ThomasBab]

Dann mal kurz ein Zitat aus Wikipedia:

"Ein Axiom ist ein Satz, der nicht in der Theorie bewiesen werden soll, sondern beweislos vorausgesetzt wird. Wenn die gewählten Axiome der Theorie logisch unabhängig sind, so kann keines von ihnen aus den anderen hergeleitet werden."

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Axiom

[Delphi-Laie]

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327483)

Zitat:

Zitat von Delphi-Laie (Beitrag 1327480)

Zitat:

Zitat von JasonDX (Beitrag 1327434)

Ist die Menge der natürlichen Zahlen wirklich real? Auch die der irrationalen Zahlen? In der Mathematik sind Zahlen Elemente einer Menge, über die dann argumentiert wird.

Das kann man - kannst Du - natürlich abstreiten. Nur kommt man / kommst Du dann in die Zwickmühle zu erklären, wie sie objektive Eigenschaften haben können, die erkenn- und nicht veränderbar sind.

Das ist keineswegs eine Zwickmühle. Wir definieren diese Eigenschaften. Wir definieren, was eine Primzahl ist. Wir können dann analysieren, ob Elemente einer Menge (bspw. 2) diese Eigenschaft haben. Aber wir definieren die Eigenschaft. Ich sehe hier keine Zwickmühle.

Doch, genau da(s) ist sie! Definieren wir diese Eigenschaft nur - ist sie also eine "reine Gehirnkonstruktion" - oder ist sie objektiv vorhanden? Da sie sich nicht veränder läßt - was bei reinen Definitionen spielend möglich wäre - führt sie wohl ein Eigenleben außerhalb unseres Gehirns.