Weiterführung vom "Thread Fermats Vermutung"

[kleiner Unwissender]

Oh hier hat sich ja viel getan!

Aber Hagen jetzt siehst du was ich mein! Mathematik hat auch ihre Tücken! Ich hab mir die Beweise übrigens auch von meiner Mathelehrerin bestätigen lassen und wie man an dem Thread erkennen kann auf den ich verlinkt hatte, haben andere das in der Uni gelernt, kannste also glauben.

Achso, und danke an ichbins! Endlich mal einer auf meiner Seite!

Zitat:

Zitat von ichbins

Ich sage: Mathematik ist nur Definitionssache. Sie wurde vom Menschen erfunden um berechnen zu können wie viele Beutetiere er heute jagen muss (:stupid:) und eben nur genau so genau definiert wie er denken konnte/wollte/musste, und jetzt streitet man sich drüber, wie der restliche Definitionsbereich, in dem sie keinen Sinn mehr ergibt, funktioniert :wall:

[Nicolai1234]

Zitat:

Zitat von kleiner Unwissender

Oh hier hat sich ja viel getan!

Aber Hagen jetzt siehst du was ich mein! Mathematik hat auch ihre Tücken! Ich hab mir die Beweise übrigens auch von meiner Mathelehrerin bestätigen lassen und wie man an dem Thread erkennen kann auf den ich verlinkt hatte, haben andere das in der Uni gelernt, kannste also glauben.

Achso, und danke an ichbins! Endlich mal einer auf meiner Seite!

Zitat:

Zitat von ichbins

Ich sage: Mathematik ist nur Definitionssache. Sie wurde vom Menschen erfunden um berechnen zu können wie viele Beutetiere er heute jagen muss (:stupid:) und eben nur genau so genau definiert wie er denken konnte/wollte/musste, und jetzt streitet man sich drüber, wie der restliche Definitionsbereich, in dem sie keinen Sinn mehr ergibt, funktioniert :wall:

Die Frage ist nur, WAS alles definiert wurde.
Ich habe gelernt, dass es nur 7 Axiome gibt (scheint auch Recht logisch)

Zitat:

1. m + n = n + m
und mn = nm

2. (m + n) + k = m + (n + k)
und (mn)k=m(nk)

3. m (n + k) = mn + mk

4. n + 0 = n

5. n * 1 = n

6. Für jede Zahl n gibt es eine weitere Zahl k, so dass gilt:
n + k = 0

7. wenn k!= 0 und kn = km dann m=n

So steht es auch in dem Buch Fermats letzter Satz geschrieben.


Ansonsten müsste man wirklich alles an Hand dieser Axiome beweisen können. Und die Axiome in Frage zu stellen, wäre blöd...

[CalganX]

Zitat:

Zitat von Nicolai1605

Ich habe gelernt, dass es nur 7 Axiome gibt (scheint auch Recht logisch)

Ist aber falsch...

Die ersten drei Aussagen sind Gesetze. Bekannt als Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Gesetze lassen sich beweisen. Axiome sind grundlegende Aussagen, die nicht belegbar sind innerhalb ihres Systems.

Aussagen 4 und 5 sind ebenfalls keine Axiome, sondern Folgerungen daraus, dass die Menge der ganzen Zahlen (also auch jede Menge, von denen die Menge der ganzen Zahlen eine (echte) Teilmenge ist) einen Ring bilden. Diese Tatsache fordert nämlich, dass es ein neutrales Element gibt. Bei der Addition ist das die 0 und bei der Multiplikation die 1.
Folglich sind auch diese Aussagen keine Axiome, sondern lediglich Folgerungen aus einem Konstrukt. ;)

Aussage 6 ist dasselbe in grün, nur dass es diesmal um das inverse Element geht.

Und Aussage 7... keine Ahnung. Bin ich mir gerade nicht sicher, ist aber definitiv kein Axiom.

Ein Axiom (der Arithmetik) wäre bspw.

Zitat:

Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.

Zitat:

Ansonsten müsste man wirklich alles an Hand dieser Axiome beweisen können. Und die Axiome in Frage zu stellen, wäre blöd...

Alle Teilgebiete der Mathematik basieren auf diesen Axiomen. Jeder Beweis wird also indirekt irgendwie auf diese Axiome zurückgreifen. Unabhängig davon, ob das die Axiome der Arithmetik oder von sonstwas sind.
Axiome in Frage stellen würde bedeuten, dass du die Fundamente der gesamten Mathematik einreißt. Wird keiner machen. Macht auch keinen Sinn. Wenn du dir die Axiome anschauen würdest (habe leider keine Liste der Wichtigsten auf die Schnelle gefunden), dann würdest du sehen, wie elementar diese sind. Das hat ja auch seinen Grund.
Was würde es denn für einen Sinn machen obiges Axiom in Frage zu stellen? Abgesehen davon, dass du eine Tatsache auch nur bedingt in Frage stellen kannst. Dass dein Computer an ist, ist eine Tatsache. Das kannst du nicht weiter in Frage stellen, wenn du gerade liest, was ich geschrieben habe. - Außer du bist Philosoph. :roll:

Siehe auch Wikipedia: Axiom

Chris

[123Kai]

Zitat:

Zitat von Chakotay1308

Ist aber falsch...

Die ersten drei Aussagen sind Gesetze.

Gesetze sind eben Axiome. Die Zahlen, von denen wir meistens sprechen, sind reele Zahlen. Man sagt R ist ein Körper. Dieser Körper hat 13 Axiome, genauer: 9 Körper-, 3 Anordnungs- und ein Vollständigkeitsaxiom. Du kannst jetzt Zahlen, wie 1, 2, 3, ... in eine eigene "Klasse" stecken: die natürlichen Zahlen. Dort gelten aber nur einige wenige Axiome, da du z.B. kein inverses Element hast, etc.

Wenn du von beweisen sprichst: ja, man kann beweisen, dass R ein Körper ist. Eben mit diesen Axiomen. Denn sie definieren ja gerade, was ein Körper ist. Naja, aber wir kommen vom Thema ab. Also zurück.

Mein Ansatz mit der geometrischen Reihe ist auf jedenfall richtig. Kann gar nicht anders sein. Wenn wir grad bei Körper sind. Dort gilt das Anordnungsaxiom. Also, ist 0.9p größer 1? Ist es kleiner als 0.9p ? Nein, also muss es genau 1 sein, da R angeordnet ist. Ist also unumgänglich, außer 0.9p wäre irrational oder sogar komplex. Is es aber nich, also is 0.9p = 1.

[CalganX]

Zitat:

Zitat von 123Kai

Gesetze sind eben Axiome.

:wall: Guten Morgen. Man sollte so spät abends nicht so viel Mist labern. :oops: Hast natürlich Recht. :? (Wobei die Aussage "Es gibt 7 Axiome" trotzdem falsch ist ;))

Chris

[cruiser]

pfuh... schwieriges Thema... jedoch scheint mir der Beweis für 0.9p = 1 ein wenig an der Nase herbeigezogen.

Ein Fakt ist, dass die Multiplikation die exakte (nicht ungefähre) Gegenoperation zur Divison ist.

Gehe ich also davon aus, dass 1 : 9 = 0.1p ist muss es im Umkehrschluss auch heissen 1 = 0.1p x 9.

Das bedeudet aber auch, dass 0.1p x 9 ≠ 0.9p ist und somit gilt lediglich 0.9p ≈ 1 und nicht 0.9p = 1.

Dass in der Praxis 0.9p wie 1 behandelt wird steht aber auf einem anderen Blatt.

[JasonDX]

Ich hab noch einen kleinen Beweis, der zwar nicht so sonderlich mit mathematischen Formeln geschmueckt, aber dafuer umso anschaulicher ist:

Wenn man 2 Zahlen (a und b) vergleicht, so gibt es 3 Moeglichkeiten:

• a ist kleiner als b
• a ist gleich b
• a ist groesser als b

Wir eliminieren mal die letzte Moeglichkeit fuer unser Beispiel, weil wir davon ausgehn, dass die Zahlen sortiert sind.
Wenn wir also die Sortierte Zahlenmenge [a, b] vergleichen, kann a entweder kleiner b oder gleich b sein.
Gucken wir uns den ersten Fall an: Die rationalen Zahlen sind so definiert, dass es bei 2 verschieden grosse Zahlen (z1, z2) immer unendlich viele Zahlen gibt fuer die gilt: z1 < x < z2.
So auch fuer unser Beispiel: es gibt im ersten Fall, naemlich wenn a < b, unendlich viele Zahlen fuer die gilt a < x < b.
Betrachten wir nun die 2. Moeglichkeit, naemlich dass a = b: Dort gibt es genau 0 Zahlen, fuer die gilt a < x < b.
Das bedeutet: Wenn eine Zahl nicht gleich der anderen ist, so gibt es unendlich viele Zahlen dazwischen. Wenn 2 Zahlen gleich sind, so gibt es genau 0 Zahlen dazwischen. Es gilt auch der Umkehrschluss: Wenn es unendlich viele Zahlen zwischen a und b gibt, so ist a <> b. Gibt es keine Zahlen dazwischen, so ist a = b.
Und wo liegt jetzt der Beweis?
Man nenne mir eine rationale Zahl x, dargestellt in einem Bruch, fuer die gilt: 0.9p < x < 1

Das, was uns so durcheinanderbringt, ist IMO die Darstellung. Wenn wir uns die 0.9p nicht als Zahl, sondern als Position am Zahlenstrahl betrachten, wirds vielleicht eindeutiger. Es ist fuer unsere Logik halt nicht so einleuchtend, dass 2 so unterschiedlich dargestellte, eindeutig scheindende Zahlen doch den selben Wert repraesentieren koennen.

greetz
Mike

[Edit] rational, net reell :oops:

[alcaeus]

Um auf die Periode zurueckzukehren, dies ist eigentlich einfach.
Wenn man auch hier vergleicht, so kann man jede periodische Zahl als Bruch darstellen.
Man nehme dazu die Anzahl Stellen der Periode, welche den Zaehler ergeben. Die Periode selbst kommt in den Nenner. Fuer jede Nachkommastelle vor der Periode haengt man dann eine 0 an den Nenner an; falls der Nachkommateil vor der Periode nicht aus 0en besteht, so muss man noch eine entsprechende Zahl hinzuzaehlen; bei 0.83333p waere es dann eben 8/10.

So, nun sehen wir uns die 0.9p an. Dies kann ich auch schreiben als 9 * 0.1p. 0.1p ist laut obiger Darstellung 1/9. Also erhalten wir 9 * 1/9, und jeder der ein bisschen Mathe kann duerfte den Rest alleine schaffen.

Hagen, ich dachte nie dass ich das sagen koennte, und auch nie dass ich es sagen wuerde, aber hier spielt dir irgendwas in deinem Kopf einen Streich; es ist tatsaechlich so dass 0.9p = 1; nicht annaehernd gleich, nicht fasts gleich, kein 1/infty dazwischen, gar nichts. Schlicht und einfach 1 ;)

@cruiser: netter Versuch, aber du ziehst hier den Beweis, dass 9 * 0.1p = 1 dafuer her, zu besweisen dass 0.1p * 9 != 0.9p ist. Erstens kann ich B nicht widerlegen, indem ich einen Beweis fuer B verwende, und zweitens ist dein "Beweis" falsch, falls eben 0.9p = 1; was ja oft genug in den letzten Wochen hier bewiesen wurde. Ich kann auch gerne andere Beweise aufbringen, ich kann meinen DS-Prof dies ganz formal erklaeren lassen, aber glaub mir, 0.9p = 1.

Greetz
alcaeus

[negaH]

@JasoDX:

Zitat:

Man nenne mir eine rationale Zahl x, dargestellt in einem Bruch, fuer die gilt: 0.9p < x < 1

Deine Vorgehensweise geht von einer ganz spezifischen Festlegung für rationale Zahlen aus. Wir können das mal spaßenshalber auf die natürlichen Zahlen übertragen.

Dann hiese dies: zwei natürliche Zahlen sind gleich wenn zwischen diesen beiden Zahlen keine weitere Zahl vorkommt. Also 1 == 2 weil zwischen 1 und 2 keine weitere Zahl vorkommt. Gut wir sehen das ist falsch, warum ? Weil die Definition der reellen Zahlen eben nur als eine Defintion für reelle Zahlen gültig ist.

So: aus Sicht dieser Definition gibt es tatsächlich keine Zahl zwischen 0.9p und 1, und ergo sind die Zahlen 0.9p und 1 als reelle Zahlen tatsächlich gleich.

Aber worum es mir in meinen ganzen Diskussionen geht ist nicht zu beweisen das 0.9p == 1 in den reellen Zahlen gültig ist sondern auch zb. in den komplexen Zahlen oder sonstwelchen anderen.

Ich möchte wissen ob 0.9p == 1 für alle Zahlendarstellungen gültig ist, quasi absolut und exakt gesehen, OHNE irgendwelche Randbedingungen die die Zahlen einschränken. Und da vertrete ich eben die Meinung das nur 1 / 9 == 0.1p und 0.1p * 9 == 1 sein kann und nicht 0.1p * 9 == 0.9p == 1.

Ich kann sehr wohl all die guten Argumente von euch verstehen und nachvollziehen, besonders das eine 0.0 unendlich 0 und 1 niemals diese letzte 1 erreichen kann. Aber auch wenn die 1 niemals geschrieben wird so existiert diese 1 aber denoch an unendlicher Stelle. Dh. wertmäßig bewegt sich diese 0.0 unendlich 0 und 1 an unendlicher Stelle eben dieser Ziffer 1 entgegen und somit ist diese Zahl ungleich 0. Ich sträube mich das zu leugnen. Aber noch warte ich auf die Antworten meiner Mathematikfreunde.

Gruß Hagen

[Nikolas]

Zitat:

Aber worum es mir in meinen ganzen Diskussionen geht ist nicht zu beweisen das 0.9p == 1 in den reellen Zahlen gültig ist sondern auch zb. in den komplexen Zahlen oder sonstwelchen anderen.

Du wolltest doch das Gegenteil beweisen...
Diese beiden Zahlen sind doch komplex! Es gilt: N<Z<Q<R<C (< als Teilmenge gelesen). Man kann sich schließlich an jede Zahl, einfach ein '+0i' drandenken, ohne dass es etwas schadet und hat dann eine Darstellung als komplexe Zahl. Aus welcher Menge an Zahlen willst du denn 0,9p und 1 nehmen, wenn nicht aus C?

Delphi-Quellcode:

So: aus Sicht dieser Definition gibt es tatsächlich keine Zahl zwischen 0.9p und 1, und ergo sind die Zahlen 0.9p und 1 als reelle Zahlen tatsächlich gleich.

Das die reelen Zahlen ein Kontinuum darstellen, also ohne Lücke liegen, ist aber keine Definition, sondern eine Eigenschaft der reellen Zahlen und folgt aus ihren Eigenschaften als Körper. (Man halbiert die Differenz der Zahlen und zieht sie von der größeren ab, um eine solche Zahl zu finden. Summenbildung und Multiplikation sind ja in der Gruppe definiert)