Gleichung auflösen

[Fussball-Robby]

Hey Leute,
ich bekome folgende Gleichung gerade einfach nicht aufgelöst: a/b=(a+b)/a.
Ich möchte a oder b alleine auf einer Seite stehen haben und schaffe es nicht...
Als ersten Schritt habe ich mit a und b multipliziert, sah dann so aus: a²=b(a+b). Doch ich bekomme a nicht isoliert.
Adere Möglichkeit, erstmal umformen, z.B. so: a/b=b/a+1. Hat aber auch nicht geholfen.
Any ideas?

[Bummi]

ich bin mathematisch völlig unbeleckt, aber so
a²-b²-ba=0
sieht es aus wie eine kaputte binomische Formel

[Namenloser]

Das beste was mir im Moment einfällt:

Code:

a/b = (a + b)/a
a^2 = b(a + b)
a^2 = ab + b^2
a^2 - ab - b^2 = 0
a^2 + (-b)*a + (-b^2) = 0
// PQ-Formel
a_1,2 = b/2 +- sqrt(b^2/4 + b^2)
      = b/2 +- sqrt(5/4*b^2) 
      = b/2 +- (sqrt(5)/2)*b
      = (1 +- sqrt(5))/2*b

Ohne Garantie auf Richtigkeit... ist etwas unübersichtlich in einzeiliger Textform.

[Jens Hartmann]

Bin mir nicht sicher, aber müsste das nicht...

a/b=(a+b)/a
a/b*a=a+b
a/b*a-b=a
a²-b=a*b
a²/a-b=b
a²/a=b+b

a²/a=b+b

Gruß Jens

[Meflin]

http://www.wolframalpha.com/input/?i...28a%2Bb%29%2Fa

[Namenloser]

Zitat:

Zitat von Jens Hartmann (Beitrag 1064370)

Bin mir nicht sicher, aber müsste das nicht...

1. a/b=(a+b)/a
2. a/b*a=a+b
3. a/b*a-b=a
4. a²-b=a*b
5. a²/a-b=b
6. a²/a=b+b

a²/a=b+b

Gruß Jens

Bis Schritt 3 richtig, aber danach falsch, weil du anscheinend mit b multipliziert hast, aber auf der linken Seite nicht b^2 steht. Wenn dort korrekterweise b^2 stehen würde, hättest du aber fast wieder die Ausgangsgleichung -- also führt diese Umformung nicht weiter... (und wieso hast du in Schritt 2 nicht gleich a gekürzt?)

[ccc2]

Ich hab mal Mathcad 8 bemüht und folgende Lösung angeboten bekommen:

[Fussball-Robby]

Danke an alle! NamenLozer hat die Lösung, welche ich gestern auch noch herausbekommen habe. Trotzdem vielen Dank. Erst danach fand ich diesen Artikel: Wikpedia: Goldener Schnitt. Scheint ja eine bekannte Glichung zu sein..
Naja, aber wir habens ja auch so geschafft :wink:

[Luckie]

Der Lösungsweg wäre jetzt noch interessant.

[Delphiano]

Zitat:

Zitat von Luckie (Beitrag 1064412)

Der Lösungsweg wäre jetzt noch interessant.

Hallo Luckie,

Substitution ist der Weg zur Lösung.
...
a*a = (a+b) * b

a*a = a*b + b*b

a*a - a*b - b*b = 0

nun die Substitution mit c = b/2 d.h. b durch 2*c ersetzen:

a*a - 2*c*a - 4*c*c = 0

a*a - 2*c*a + c*c = 5*c*c

(a-c)(a-c) = 5*c*c

nach c lösen und dann die Substitution rückgängig machen...

Viel Spass

[BeBored]

Bin ich froh das wir in der Sonderschule nur mit Fingerfarben gemalt haben...

[Aphton]

Zitat:

Zitat von Jens Hartmann (Beitrag 1064370)

Bin mir nicht sicher, aber müsste das nicht...

a/b=(a+b)/a
a/b*a=a+b
a/b*a-b=a
a²-b=a*b
a²/a-b=b
a²/a=b+b

a²/a=b+b

Gruß Jens

Weiters lässt sich deine Gleichung so vereinfachen:
a = 2b

Setzt man nun beliebige Werte, die dieser Gleichung entsprechen - beispielsweise a = 10, b = 5, ein, so sieht man, dass es nicht stimmt:
10/5 = (10+5)/10
2 <> 1.5

Ansonsten, siehe Lösung NamenLozer's

[Namenloser]

@Delphiano
Erscheint mir irgendwie zu sehr um die Ecke gedacht -- wenn ich

Delphi-Quellcode:

(a-c)(a-c) = 5*c*c

nach c auflöse, habe ich doch wieder eine quadratische Gleichung. Wo liegt da jetzt der Vorteil? Ich muss am Ende ja eh wieder die PQ-Formel benutzen, nur habe ich noch einen zusätzlichen Rechenschritt.
Da find ich meine Lösung irgendwie deutlich einfacher und überschaubarer...

[Delphiano]

Zitat:

Zitat von NamenLozer (Beitrag 1064857)

@Delphiano
Erscheint mir irgendwie zu sehr um die Ecke gedacht -- wenn ich

Delphi-Quellcode:

(a-c)(a-c) = 5*c*c

nach c auflöse, habe ich doch wieder eine quadratische Gleichung. Wo liegt da jetzt der Vorteil? Ich muss am Ende ja eh wieder die PQ-Formel benutzen, nur habe ich noch einen zusätzlichen Rechenschritt.
Da find ich meine Lösung irgendwie deutlich einfacher und überschaubarer...

Hallo NamenLozer,

es war die Frage nach dem Lösungsweg.
Dass ich die PQ-Formel hernehmen, einsetzen kann und die Lösung dasteht, ist mir schon klar.

Was ich zeigen wollte ist die Herleitung und dies mit Substitution und quadratischer Ergänzung.

Und was ist um die Ecke gedacht, wenn man (a-c)^2 = 5*c^2 lösen will.
Als Lösung nimmt man die positive und negative Wurzel, also (a-c) = ±sqrt(5)*c

--> a = c*(1 ±sqrt(5) ) und ersetzt c = b/2 --> a = b/2(1±sqrt(5))


Auf diese Weise wird auch die PQ-Formel hergeleitet... :wink:

[Namenloser]

Ah, verstehe. Sry, Herleitung der PQ-Formel ist schon eine Weile her ;)