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Flips 25. Apr 2011 15:02

Mathe - LDGL
 
Hi und frohe Ostern!

Leider muss ich die Osterzeit damit verbringen, einige Aufgaben zu knacken.
Unter anderem auch eine, bei der eine LDGL zu lösen ist. Was eigentlich noch der einfache Teil bei dieser Aufgabe ist.
Aber ich steh total auf dem Schlauch. Folgende Gleichung:
WolframAlpha

Wenn ich diese über nen Exponential-Ansatz (h(x)=a*exp(w*x)) löse, dann kommt bei mir was total tolles raus,
nämlich h(x)=2*A*cos(sqrt(a/b)*x) (Oder so ähnlich, auf jeden Fall ne Cosinus-Funktion).
Allerdings ist eine der Randbedingungen h(0)=0. Und das geht hier ja voll nach hinten los!
Die Lösung von WA ist natürlich um Längen besser, da eliminiert mir die Randbedingung den Cosinus und zurück bleibt der Sinus, der auch auf jeden Fall richtig ist!
Also wie kommt WA auf diese Lösung? Rein theoretisch kann es bei mir ja NUR am Ansatz liegen.

Lg, Flips

jfheins 25. Apr 2011 18:42

AW: Mathe - LDGL
 
Naja, deine Gleichung hat die grundlegende Form
Zitat:

a h(x)+b h''(x) = 0
Dein Ansatz ist schon richtig. Wenn die Nullstellen konjugiert komplex sind, bekommst du eine Summe aus Sinus und Kosinus. Wenn du das vorher weist, dann kannst du auch direkt sin+cos hernehmen - dann ersparst du dir die komplexen Teile der Rechnung

Wenn sich bei dir der Sinusterm eliminiert hast du irgendwas falsch gemacht - bedenke dass deine Konstanten zwischendurch auch komplex werden dürfen. Nur am Ende sollte wieder etwas reelles stehen.

Flips 25. Apr 2011 20:43

AW: Mathe - LDGL
 
Ja die Nullstellen sind komplex konjugiert.
Wenn ich mir mein w im Argument der Exponentialfunktion nun als u+i*v darstelle (also einfach als ne komplexe Zahl) und das weiter ausführe, dann komme ich am Ende doch auf meine Sinus-Funktion, allerdings mit einer komplexen Amplitude...
Und in unserem Skript wird das einfach IGNORIERT. Da bekommt diese komplexe Amplitude plötzlich nen neuen Buchstaben und das wars...Naja ich warte mal die Lösung ab und poste die dann mal der Vollständigkeit halber hier.

jfheins 25. Apr 2011 21:00

AW: Mathe - LDGL
 
Also mein Skript (DGL'n für Ing. - also nicht streng mathematisch korrekt) behandelt das so:

Einfache Komplexe Nullstelle der char. Gleichung: α + iβ
Zugehörige Funktion: exp(α*x)*cos(β*x) + exp(α*x)*sin(β*x)

Wenn du die Herleitung willst, könnte ich nochmal mein Vorlesungsskript rauskramen. Man kannte irgendwie die (neuen) Konstanten so wählen, dass bei der Superposition einmal nur die Sinusterme übrig bleibt und einmal nur der Kosinusterm.


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