[Mathe] Punktsymmetrie

[Medium]

Im Allgemeinen ist, wenn nicht anders angegeben, bei Punktsymmetrie in der Regel nur nach der zum Ursprung gefragt. Da würde ich also eher nochmals beim Lehrer nachfragen, ob er sich der Tatsache bewusst war, dass es bei einer periodischen Funktion eine Menge an Punktsymmetriepunkten gibt, bzw. ob er wirklich die Menge mit dieser Frage wissen will, oder doch nur die Aussage, ob punktsymmetrisch zum US oder nicht.
Wenn die Menge gefragt ist, ist der Nachweis der Periodizität unter Angabe der Menge der Nullstellen ausreichend - hier allerdings auch nur, weil pro Periode nur eine NS auftaucht. Wenn ich das aber richtig einschätze, ist wirklich nur nach dem US gefragt.

[Thom]

@Medium

[Namenloser]

Naja, in der Stunde, bevor wir diesen Übungszettel bekommen haben, ging es gerade noch mal um das Auflösen von trigonometrischen Funktionen, und explizit auch darum, dass diese mehrere Lösungen haben. Deshalb ging ich davon aus, dass hier auf jeden Fall auch mehrere Punkte gefragt sind.

@Thom: Das Problem ist halt, dass die Aufgabenstellung schwammig ist. Normalerweise kenne ich die Aufgaben auch so wie von dir beschrieben, dass man die Symmetrie zu einem gegebenen Punkt, meist dem Ursprung, nachweisen soll. Wenn diese Aufgabe in einer Klausur drankäme, würde ich aus Zeitgründen natürlich auch mit dem Schaubild argumentieren, und dann für die Symmetriepunkte, die man ablesen kann, die Symmetrie noch mal rechnerisch nachweisen. Aber es muss doch auch einen sauberen Weg geben, der nicht darauf basiert, dass unser Gehirn Symmetrien in einer Darstellung erkennt

[edit]
Ich bin in der 13. Klasse und schreibe in ein paar Wochen Abitur. CAS dürfen wir in der Schule leider nicht benutzen.
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[Thom]

Aha - na dann erst mal viel Erfolg bei den Prüfungen!

Also in meinem Bundesland ist es wirklich so, daß bei der Frage nach der Punktsymmetrie die Schüler die Gleichung f(x)=-f(-x) und dementsprechend die Symmetrie zum Koordinatenursprung untersuchen müssen. Das gilt sowohl für den Grund- als auch den Leistungskurs.
Da Ihr kein CAS nutzen dürft, muß die Aufgabe schriftlich zu lösen sein. Das schließt die Ermittlung aller Symmetriepunkte von vornherein aus. Auf den Nachweis der Symmetrie gibt es meist auch nur eine BE. Wie lange willst Du dafür rechnen?

[Namenloser]

Danke!

Wenn das im Abitur käme, würde ich mich daran natürlich nicht so lange aufhalten . Aber wenn meine Theorie stimmt, dass Symmetriepunkte immer auch Wendepunkte sind, müsste man ja auch nur für zwei Punkte die Symmetrie beweisen: Den Ursprung und den Wendepunkt (pi | 0). Dass die Funktion eine Periodizität von 2pi hat, ist ja bekannt. Deshalb wollte ich halt gerne wissen, ob diese Theorie stimmt oder nicht.

[Thom]

Sollte nicht stimmen. Gegenbeispiel: f(x)=x. Ist punktsymmetrisch, besitzt aber keine Wendestelle.

[Namenloser]

Zitat von Thom:

Sollte nicht stimmen. Gegenbeispiel: f(x)=x. Ist punktsymmetrisch, besitzt aber keine Wendestelle.

Hmm, ok, stimmt. Ich rette das ganze mal zu: Für einen Symmetriepunkt muss die notwendige Bedingung einer Wendestelle erfüllt sein (2. Ableitung = 0). Das ist hier nämlich auch der Fall.

[MGC]

@Thom: Oft sieht man das Einfache nicht, obwohl es direkt auf einer Geraden vor einem liegt. Super Beispiel.

[Thom]

@MGC: Danke!

@NamenLozer: Für f(x)=x ist aber f''(x) auch 0...
Gilt übrigens auch für f(x)=0, f(x)=-x und alle anderen linearen Funktionen mit f(x)=m*x. Die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle trifft nämlich nicht zu: f''(x)=0 und f'''(x)<>0.

[UliBru]

Zitat von NamenLozer:

Naja, in der Stunde, bevor wir diesen Übungszettel bekommen haben, ging es gerade noch mal um das Auflösen von trigonometrischen Funktionen, und explizit auch darum, dass diese mehrere Lösungen haben. Deshalb ging ich davon aus, dass hier auf jeden Fall auch mehrere Punkte gefragt sind.

Vermutlich gab es bei den trigonometrischen Funktionen mehrere Lösungen, aber eine endliche Anzahl davon. Bei dem Beispiel der Punktsymmetrie gibt es doch unendlich viele Lösungen für alle x. Ich denke da will kein Lehrer nun die genaue Anzahl wissen.