Wenn du eine Prozedur hast, welche
Lineare Gleichungssysteme lösen kann (da findest du sicher dutzende; u.a. auch hier in
DP), dann kannst du es "ohne Vektorgeometrie" sehr einfach so tun:
1. Schritt
Dreieck D(P1, P2, P3) liegt in einer Ebene E: Ax + By + Cz + D = 0.
Die drei Punkte P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), P3(x3,y3,z3) müssen E erfüllen.
Du musst also das lineare Gleichungssystem
P1 liegt in E: Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
P2 liegt in E: Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0
P3 liegt in E: Ax3 + By3 + Cz3 + D = 0
nach A,B,C,D auflösen. (4 Unbekannte, 3 Gleichungen => Lösungsraum 1 dimensional [falls die Dreiecke echte Dreiecke sind])
Dies machst du für jedes Dreieck D1, D2, D3.
Du hast nun Koordinatengleichungen der 3 Ebenen E1, E2, E3 bestimmt.
2. Schritt:
Nun suchst du den Punkt S(x,y,z) (die Punkte), welcher in allen drei Ebenen E1,E2,E3 liegt.
Dies ist auch wieder ein lineares Gleichungssystem II
S liegt in E1: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
S liegt in E2: A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
S liegt in E3: A3 x + B3 y + C3 z + D3 = 0
welches du nach den Unbekannten x,y,z auflösen musst.
Je nach Lage der Ebenen E1, E2, E3 ist der Lösungsraum von II
- leer, wenn zwei der Ebenen Ei, Ej parallel zueinander liegen und Ei<>EJ gilt
- 0-dimensional (1 gemeinsamer Schnittpunkt),
- 1 dimensional (E1,E2,E3 haben eine gemeinsame Schnittgerade),
- oder 2 dimensional, wenn E1=E2=E3, d.h. alle Dreiecke in der gleichen Ebene liegen.
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