Volumen und Mittelpunkt von einem 3D-Raum berechnen?

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Zitat von himitsu:

Du mußt da halt nur aufpassen, dass es keine Überschneidungen von den angenommenden Pyramiden und der Außenhaut gibt.

Das ist der große Knackpunkt. Die Methode funktioniert nur dann garantiert, wenn das gesamte Gebilde an allen Stellen konvex ist. Es muss nicht fehlschlagen bei konkaven, aber es kann.

Zitat:

Notfalls den gesamten Raum in mehrere Teile zerlegen (eine/mehrere Trennflächen in diesen Körper legen) und jeden Teil dann mit eigenen Mittelpunkten und Pyramiden zerlegen, berechnen und alles summieren.

Und das wäre dann der komplizierte Teil . Man müsste eine Methode finden, die für beliebige Körper die beliebig vielen Flächen finden, die diesen in rein konvexe Teilkörper zerteilt. Viel Spaß dabei. (Nicht, dass es nicht möglich wäre, aber AutoCAD und Co haben ihren Preis nicht nur aus Spaß.)

Man braucht dafür übrigens den Schwerpunkt nichtmals. Man muss nur einen finden, bei dem sich die Tetraeder nachher nicht überdecken. "Nur".

Das gleiche Verfahren klappt für 2D sehr gut. Da hat man den Vorteil, dass man anhand der Reihenfolge der Punkte der Dreiecke feststellen kann, ob man "zurück gehüpft" ist (=konkave Stelle). Diese subtrahiert man dann einfach vom Gesamtergebnis, und bekommt am Ende die korrekte Fläche. Man kann daher dabei sogar einen beliebigen Startpunkt wählen.
Aber auch diese Methode hat eine Achillesferse (wie auch die 3D-Version wenn man das konkav-Problem gelöst hätte): Löcher. Löcher, wie das vom TE gezeigte, bringen wieder einen ganz eigenen Schwierigkeitsgrad ins Spiel.

Je allgemeiner die Form, desto aufwendiger der Lösungsweg. Von x³ bis hin zu komplizierten analytischen Verfahren (Stichwort parametrische Körper z.B.). Aus dem Stegreif wüsste ich nicht, wie ich das Problem des TE angehen würde, obgleich ich schon einiges im Bereich 3D bzw. Geometrie generell gemacht habe. Aber jede Verallgemeinerung die man ausschließen kann, macht's nachher einfacher. Wenn man z.B. "keine Löcher" und "nur konvex" definieren könnte, wäre der Ansatz über Tetraeder schon ein guter.