Single wert ist unterschiedlich obwohl gleich

[gammatester]

Zitat von bernau:

Es gibt auch viele die mitlesen. Und wenn du schreibst, dass das direkte Vergleichen zweier Gleitkommazahlen kein Problem ist, dann führst du diese Leute auf's Glatteis.

Inwischen habe ich die neuen Versionen von AMath/DAMath und MPArith hochgeladen und deshalb wieder etwas mehr Zeit. Vielleicht sollten wir allerdings einen eigenen Thread aufmachen oder ein Moderator splittet diesen.

Ich will niemanden auf Glatteis führen, und jeder mag iszero/samevalue benutzen. Nur bitte: der direkte Vergleich kann gar kein Problem sein, weil iszero/samevalue genau solche macht:

Delphi-Quellcode:

  if Epsilon = 0 then
    Epsilon := ExtendedResolution;
  Result := Abs(A) <= Epsilon;

Wie man sieht, zwei direkte Vergleiche. Ich sage nur, daß jeder das auch flexibler und angemessener direkt machen kann.

Zu Deinem Bespiel sqr(sqrt(2)) <> 2 und Luckies 69.82 <> 69.2 + 0.62. Das Problem ist wieder einmal die nicht exakte Darstellbarkeit, hier von sqrt(2) und allen Luckischen Zahlen (und ein C-Compiler-Problem?)

Was man sich merken sollte.

• Nicht jede reelle Zahl ist exakt als Fließkommazahl f*2^x darstellbar mit 0 < f < 2^p und x innerhalb gewisser Grenzen.
  
• Jede Fließkommazahl ist genau definiert. Ein reelle Zahl wird durch Rundung auf eine FKZ abgebildet.
  
• Die Grundoperation verarbeiten die exakten FPZ wie mit unendlicher Genaugkeit und anschließender Rundung.
  
• Dabei werden naturgemäß Rundungsfehler gemacht, die genau abgeschätzt werden können.

Hier Luckies float-Zahlen, d.h. single

Code:

69.2   -> 69.1999969482421875
0.62   -> 0.62000000476837158203125
69.82  -> 69.81999969482421875

Addiert man nun die beide exakten Singles, so erhält man 69.1999969482421875 + 0.62000000476837158203125 = 69.81999695301055908203125. Das wird nun zum nächsten Single gerundet und ergibt 69.81999969482421875 was genau dem Single-Wert von 69.82 entspricht.

Ich weiß, zwar nicht was für einen C-Compiler er benutzt hat, aber alle Delphi/Freepascal-Versionen liefern true als Ausgabe von

Delphi-Quellcode:

{$apptype console}
var
  a,b,c,d: single;
begin
  a := 69.2;
  b := 0.62;
  c := a + b;
  d := 69.82;
  writeln(c=d);
end.

Zitat von stahli:

@Luckie
Danke! Ich wusste noch so ungefähr, dass es da so ein Problem gab.
Gut, das mal aufzufrischen.

Ja, offensichtlich der C-Compiler.

[Sailor]

Sorry, muß mal noch kurz meinen Senf dazugeben. Der Computer rechnet nicht mit reellen Zahlen, sondern mit rationalen Zahlen. Das Problem ist, daß wegen der begrenzten Stellenzahl nur die wenigsten rationalen Zahlen überhaupt darstellbar sind. Wer mit dem Rechner tatsächlich rechnet im traditionellen Sinn, dem sei The Art of Programming, vol. 1 von Knuth dringend ans Herz gelegt. Leider wird das Thema auch während der Ausbildung nur stiefmütterlich behandelt.

[gammatester]

Zitat von Sailor:

Sorry, muß mal noch kurz meinen Senf dazugeben. Der Computer rechnet nicht mit reellen Zahlen, sondern mit rationalen Zahlen.

'Der Computer' ist was? Manche Programme rechnen symbolisch mit rationalen Zahlen, nativ ist iA nur Integer- und Fließkommaarithmetik vorhanden, alles andere ist, wenn überhaupt, nur mit Software implementiert.

Zitat von Sailor:

Das Problem ist, daß wegen der begrenzten Stellenzahl nur die wenigsten rationalen Zahlen überhaupt darstellbar sind.

Richtig: Die Darstellung von rationalen Zahlen braucht keine Stellen nach dem Komma, da sie ja Paare von Integer sind. Und genau da liegt ein viel größeres Problem: Die Größe von Zähler und Nenner (und damit ihr Speicherbedarf) wächst dramatisch schnell, selbst wenn man nach jeder Operation den GGT von Zähler und Nenner herauskürzt: Nimm mal Dein bevorzugtes CAS und rechne einfache Sachen wie (1+3/100)^40 oder Summe(1/n^2, n=1..100) aus, von etwas komplizierteren Sachen ganz zuschweigen. Also ohne Langzahlarithmetik eignet sich die Simulation von rationaler Arithmetik nur für Spielkram oder Übungsaufgaben. Aber wie gesagt, für spezielle Anwendungen angemessen mit Programmen wie Mathematica oder Maple.

Allerdings muß man beachten, daß die Operationen der Rational-Arithmetik dann nicht mehr in konstanter Zeit abgewickelt werden können, sondern mit Zähler- und Nennerlänge ansteigen, auch wenn Bruchwert sich nur wenig ändert, siehe das Summenbeispiel.

Zitat von Sailor:

Wer mit dem Rechner tatsächlich rechnet im traditionellen Sinn, dem sei The Art of Programming, vol. 1 von Knuth dringend ans Herz gelegt. Leider wird das Thema auch während der Ausbildung nur stiefmütterlich behandelt.

Dem kann man nur zustimmen, obwohl wichtiger erscheint mir doch da Vol 2. Kapitel 4, es sei denn, Du willst alles in MIX programmieren.

[Rollo62]

Ich habe den Eindruck hier gibt es viele Lösungen, und jetzt wird krampfhaft nach dem passenden Problem gesucht

[EWeiss]

Zitat von Rollo62:

Ich habe den Eindruck hier gibt es viele Lösungen, und jetzt wird krampfhaft nach dem passenden Problem gesucht

Ich denke das es hier nur einen gibt der die Problematik wirklich versteht @gammatester
Das hat nichts mit suchen sondern wissen zu tun zumindest was ihn angeht.

gruss

[p80286]

Also wenn ich es bisher richtig verstanden habe ist die Quintessenz:

Zitat:

neben der Tatsache, daß nicht alle reellen Zahlen Fließkommazahlen sind

oder anders nicht alle reellen Zahlen sind ohne Rundung(sfehler) als Fließkommazahl darstellbar.

Gruß
K-H