Gleichung umformen

[Namenloser]

Ist wohl alles eine Definitionsfrage. Ich hab mir erst mal das 1-1+1-1+1...-Video angesehen, worauf der Beweis ja aufbaut. Aber auch da gibt er am Ende in irgendeinem Nebensatz zu, dass die 0.5 eigentlich kein richtiger Grenzwert ist. Da wurde jetzt halt einfach mal definiert, dass die Folge äquivalent zum Durchschnitt der Folgenglieder ist, so wie man sonst üblicherweise definiert, dass eine Folge äquivalent zu ihrem Grenzwert ist. Beides hat sicher seine Anwendungsfälle, je nachdem, was man damit modellieren will. Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

[Medium]

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt. Und ja klar: Es ist eine Lösung, die auch von der Betrachtungsweise abhängt. Aber sie ist schlüssig beweisbar, wenn auch entgegen jeder Intuition. Und darum ging es mir eigentlich nur, nicht um eine Debatte um "-1/12"

[Namenloser]

Zitat von Medium:

Deswegen wurden auch weitere Beweisansätze gezeigt. Da die aber etwas weiter ausholen und mit Schulmathe schwerer nachvollziehbar sind, wurde der Fokus denke ich sehr auf das Untereinanderschreiben der Summen gelegt.

Das Problem ist weniger der Beweis an sich, sondern die Definition. Wenn a eine konvergente Folge ist, dann sagt man normalerweise per Konvention, dass a = der Wert, gegen den sie konvergiert.

Folgen, die nicht konvergieren, sind ja aber auch nicht ungewöhnlich, z.B. sin(x) konvergiert nicht. In solchen Fällen kann man aber z.B. trotzdem lim sup und lim inf bestimmen (für die +1-1-Folge auch). Wäre ja alles witzlos, wenn der Grenzwert das gleiche wäre wie der Durchschnitt.

In dem Video betonen sie öfter, dass das in der Physik verwendet wird. Das kann ich mir auch durchaus vorstellen, da man es in der Praxis sicher häufiger mit Zeitspannen zu tun hat. Wenn ich z.B. ein Foto aufnehme und während der Belichtungszeit das Licht immer ganz schnell an- und ausstelle, dann kriege ich ein halb belichtetes Bild. Dithering wäre also ein Anwendungsfall. Aber Physik ist eben nicht das gleiche wie Mathematik.

[Valle]

Zitat von Namenloser:

Aber es ist schon etwas irreführend, so wie er es darstellt. Populärwissenschaft halt.

Ich würde das gern etwas präzisieren: Es ist falsch.

Die Reihe divergiert, es existiert also kein Grenzwert. Und aus einer falschen Aussgae kann man bekanntlich alles herleiten.

(Mein laienhafter, vielleicht auch falscher Beweis warum das falsch ist: Die Summe s_1 = sum (-1)^n from n=0 to inf ist eine geometrische Reihe. Der Qoutient (q) zweier benachbarter Folgenglieder der zugrundeliegenden Folge ist immer -1. Die Reihe hat also a_0 = 1 und q = -1. Da a_0 != 0 und |q| !< 1 divergiert die Reihe. Bitte korrigiert mich falls ich falsch liege. )

[Furtbichler]

Rein mathematisch ist das natürlich Quatsch, aber da die Realität zeigt, das das Ergebnis stimmt, ist das nicht 'falsch'. Es ist so, das die Summe wirklich -1/12 ist, wenn sie nicht blöderweise -rein mathematisch- nie zum Ende käme. Nun gibt es aber 'Unendlich' in der Physik nicht, weswegen man lustigerweise beobachten kann, das hier eben -1/12 herauskommt.

Es ist hier kein Glatteisbeweis, den die Oberschlauen durchschauen und als Blödsinn abtun können: Eine Reihe, bei der entweder 0 oder 1 rauskommt (je nachdem, ob Unendlich gerade oder Ungerade ist ) ist natürlich mit den Augen eines Physikers 0.5: Stellt euch mal das Ergebnis als kleine Kugel vor, die entweder 0 oder 1g schwer ist, aber immer abwechselnd, weil sie sich ja nicht direkt entscheiden kann (sie repräsentiert also die divergierende Reihe). Na ja. Legen wir das auf eine Waage, zeigt diese nun mal 0.5g an. Oder noch anschaulicher: Wir haben davon 1000, die intern über Dimensionsfalten und was weis ich ständig ultraleicht und dann wieder etwas schwerer werden (machen Atome ja nun mal so ähnlich). Die Teile wären dann in Summe 500g schwer: Durch 1000 geteilt macht eben 0.5g pro Kugel.

Die Mathematik ist an dieser Stelle ziemlich verlegen: An der Stelle, wo sie widersprüchlich würde (durch 0 Teilen, Unendlich, divergierende Reihen) sagt sie dann einfach: "Is nich definiert" und zieht sich somit aus der Affäre: Würde sie das nicht tun, wäre sie komplett für die Tonne.

[Medium]

Wenn ihr euch so gerne gegen eine Reihe gestandener Professoren der Mathematik und Physik aufbäumen wollt, gerne. Ich klinke mich dann an dieser Stelle aus, und nehme statt dessen einen der "besseren" Beweise, die ihr hier so ganz ohne böse Absicht aussen vor lasst
Ferne nehme ich mit, dass die DP nicht anders ist als alle anderen Foren auch: Man zieht sich an einem beiläufigen Nebensatz hoch, der nicht mehr als "Flavor" war, und bloß mein Interesse an scheinbar unsinnigen Aussagen, die sich aber sehr wohl zeigen lassen demonstrieren sollte. Ihr dürft dann gerne weiter spielen, ich suche mir meine Antwort halt selbst.

[Namenloser]

Auch wenn Medium sich jetzt ausgeklinkt hat: Mir ist noch ein Grund eingefallen, warum man Grenzwerte nicht einfach durch den Durchschnitt ersetzen kann.

Einige reelle Zahlen, z.B. e, sind über den Grenzwert von rationalen Folgen definiert. Das schöne dabei ist, dass der Grenzwert alle Eigenschaften hat, die wir für Zahlen voraussetzen, damit wir damit rechnen können: Man kann sie addieren, subtrahieren, multiplizieren usw.. Präziser ausgedrückt gibt es einen Homomorphismus zwischen einer Folge und ihrem Grenzwert. D.h. lim(a+b) = lim(a)+lim(b), lim(a*b) = lim(a)*lim(b) usw..

Beim Durchschnitt funktioniert das zwar soweit ich sehe bei der Addition und Subtraktion, im allgemeinen aber nicht bei der Multiplikation: Geht z.B. die Folge a so: 0,1,0,1,0,1,... und die Folge b so: 1,0,1,0,1,0..., dann ist a*b an jeder Stelle 0, und damit auch avg(a*b) = 0. Für sich betrachtet sind aber avg(a) = avg(b) = 0.5. Also ist 0 = avg(a*b) != avg(a)*avg(b) = 0.25. Deshalb taugt diese Definition nicht im allgemeinen.

Das, was die im Video erzählen, ist nicht unbedingt „falsch“, nur bei genauerer Betrachtung deutlich weniger spektakulär, als es dargestellt wird. Im Grunde läuft es darauf hinaus: Man nehme eine mehr oder weniger willkürliche Abbildung von einer Folge auf eine Zahl, und wenn man damit rumrechnet, kommt was anderes raus als wenn man das gleiche mit einer anderen Abbildung von einer Folge auf eine Zahl tut.

[Valle]

Ich habe auch nicht behauptet dass das physikalisch betrachtet keinen Sinn ergibt, im Gegenteil.
Meine Betrachtungsweise war rein mathematisch. Ob das sinnvoll ist sei dahingestellt.

Scheinbar bringst du da etwas durcheinander. Wir interessieren uns auch dafür! Deshalb reden wir darüber. Nur dass wir es anders sehen und uns durch den Beweis nicht haben überzeugen lassen. Und ich bin sogar der Meinung, das Gegenteil beweisen zu können, was ich auch getan habe. Hast du das übersehen?

Auch gestandene Mathematiker und Physiker sind sich oft nicht einig. Zum Beispiel ob 0 ∈ ℕ. Zugegeben, ich habe ihn nicht gefragt. Aber ich bin mir sicher dass mein Mathe-Prof. 0,5 bzw. -1/12 nicht als Grenzwert der Reihe anerkennt.

Also sei nicht beleidigt. Wir interessieren und dafür und wollen darüber reden. Und ich gebe mir große Mühe sachlich darüber zu diskutieren!

Edit:// @Namenloser: Rein mathematisch gesehen, sehe ich das Ergebnis dennoch als falsch an. Aber klar, das ist Ansichtssache. Aber es ist es doch so, dass das Video nicht bewiesen hat, warum der Reihenwert 0,5 sei. Es gibt Kriterien für Konvergenzen und Divergenzen von Reihen. Diese hat man zu benutzen und nicht irgendwelche dahergezauberten Überlegungen. Diese Kriterien sind bewiesen, und ich habe das letzte halbe Jahr mitverfolgt, wie wir aus den Axiomen diese Kriterien gemacht haben.

[Namenloser]

Sie behaupten ja auch nicht im Klartext, dass die Reihe dagegen konvergiert, es wird bloß suggeriert. Sie sagen nur „is equal to“, und darunter kann man sich nun mal vieles vorstellen.

[Medium]

In dem Video wird, wenn ich mich richtig erinnere ziemlich am Anfang, klipp und klar gesagt, dass diese 0,5 ein wenig ein Kunstgriff sind, der jedoch genau so Sinn machen kann wie die Lösung durch die zwei Grenzwerte. Und genau deswegen werden auch andere, handfestere Wege genannt, aber nur kurz angerissen. Von dem Video aus wird ein weiteres verlinkt (extra bits o.ä.), wo eben diese genauer betrachtet werden. Da die jedoch deutlich weniger demonstrativ für den Leien sind, sind die aus dem eigentlichen Video ausgegliedert. Dass die Annahme der 0,5 ggf. mit Vorsicht zu genießen ist wird nicht verschwiegen und nie behauptet dass dies DIE Lösung für die Folge sei. Daher ist das ganze hier leider müßig, und das ist, warum ich keine Lust mehr habe. Das Thema ist behandelt, und ihr habt durchaus Recht. Nur ist das noch lange nicht der Gegenbeweis für die -1/12 der Summe der natürlichen Zahlen, als was es hier herangezogen werden soll. IMHO Thema verfehlt. Das ist es, was mich etwas annervt.

Am Rande: "is equal to" heisst sehr eindeutig "ist gleich zu", und wird im mathematischen Sprachgebrauch ganz genau so verwendet wie das Deutsche "ist gleich". Da gibt es nicht arg viel zu deuten finde ich. Der Engländer liest "5=1+4" wirklich als "five is equal to one plus four", und so ist das auch zu verstehen. Aber nochmals: Das kratzt die -1/12 nicht.
Und Valle: Dann ist dies deine Chance deinem Prof mit echter harter Mathematik berechtigt zu wiedersprechen. (So lange du eben NICHT den Beweis über die 1-1+1-1+1-1+... nimmst )