EIdTLSClientTLSHandShakeFailed : SSL-Aushandlung fehlgeschlagen.

[LuckySpacy]

Ich hatte aktuell genau das gleiche Problem und eine Lösung gefunden.
Deshalb möchte ich, auch wenn die Frage schon 5 Jahre alt ist, darauf antworten.
Vielleicht hat ja noch jemand ein Problem damit.

Also, nachdem ich die aktuelle libeay32.dll und ssleay32.dll in das Exe Verzeichnis kopiert hatte, kam der Fehler nicht mehr und es funktionierte alles.
Das wird auch der Grund sein, warum es bei akio87 zu Hause funktioniert und auf einem VServer nicht.