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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 20. Mai 2009
Delphi
C&F Orbits, Zeitreihen
Eine komplexe Formel wird iteriert. d. h. immer wieder auf ihr Ergebnis angewand.
Dabei kann ihr Wert unabhänging vom Anfangswert immer gegen den gleichen Endwert streben.
Über alle Grenzen wachsen, wir sagen die Formel divergiert.
Andere Formeln bilden einen Orbit oder seltsamen Attraktor, auf den die Werte immer wieder zurückkehren.
Das Problem wurde vom Metreologen Edward N. Lorenz erkannt und vom Mathematiker Otto Rössler näher untersucht.
Interessant sind Orbits, die sich langsam entwickeln und dabei schöne Muster bilden.
Orbits hängen empfindlich von den...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 25. Mai 2009
Delphi
Cayley: Einheitswurzeln
Cayley: Attractionsgebiete von z3 = 1
Die Gleichung z3 - 1 = 0 hat eine reelle Lösung z = 1 und zwei komplexe Lösungen e2i/3 und e-2i/3.
Nähert man diese nach Newton durch
z := z - (z^3 - 1)/3*z^2
an, so kann man in der komplexen Ebene drei Attraktionsgebiete definieren, deren Punkte als Anfangspunkte mit der Iteration zu jeweils einer der drei Lösungen führen. Die Anzahl der Iterationen, die den Punkt in eine Umgebung der Lösung führen, ist ein Maß der Konvergenzgeschwindigkeit.
Der englische Mathematiker A. Catley wies bereits 1879 auf die Schwierigkeiten...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 7. Jun 2009
Delphi
C&F IFS Iterierte Funktionssysteme
IFS: Iterierte Funktionensysteme
Die klassischen fraktalen 'Monster'-Kurven können erzeugt werden, indem in jeder Stufe alle Strecken nach der Vorschrift eines Generators durch einen Polygonzug aus kürzeren Strecken ersetzt werden. Durch sukzessives Wiederholen wird das Fraktal angenähert: Fraktal-Generator.
Iterierte Funktionensysteme (IFS) verallgemeinern dieses rekursive Verfahren. Ein Anfangsbild wird in jeder Stufe durch kontrahierende affine Transformationen in eine Reihe von verkleinerten Bildern zerlegt. Das Verfahren wird mit diesen wiederholt, bis das...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 6. Jun 2009
Delphi
C&F Fraktalgenerator
Fraktal-Generator Einführung
Helge Koch, Cesare Peano und David Hilbert schufen die erste fraktalen Kurven als 'Monster' zur Analysis. Die Koch-Kurve wurde als Beispiel einer überall stetigen aber nirgends differenzierbaren Funktion ersonnen. Die Peano-Kurve als Kurve, die jeden Punkt in einem Quadrat mindestens einmal erreicht. Die Hilbert-Kurve erreicht jeden Punkt eines Quadrates genau einmal, bildet damit eine Fläche umkehrbar eindeutig auf eine Kurve ab.
Die Erzeugung der fraktalen Koch-Kurve erfolgt, indem eine Grundlinie (der Initiator) nach den Vorschriften des...
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