Xte Wurzel aus einer Zahl

[Jelly]

Tja, und schon ist man ungewollt in der wunderbaren Welt der komplexen Zahlen C gelandet. C ist ne Erweiterung von R (reelle Zahlen), mit dem Zusatzelement

i=Wurzel(-1)

oder ander ausgedrückt:

i²=-1

[tommie-lie]

Zitat von rantanplan99:

Aus der OH: "For fractional exponents or exponents greater than MaxInt, Base must be greater than 0." Will heissen wenn man eine Wurzel zieht, dann nur von Positiven Zahlen.
aber was ist mit der 3ten Wurzel aus -27?? Die lässt sich mit der Power funktion nicht berechnen. Aber die 3te Wurzel aus -27 ist -3 ... oder seh ich da was falsch?

Dann nimmt man bei ungeraden Exponenten den Betrag von x und falls x vorher negativ war, multipliziert man es mit -1:

Delphi-Quellcode:

function rt(x: Real; n: Integer): Real;
begin
  result := sign(x) * Power(abs(x), 1/n);
end;

Das wäre aber laienhaft, denn die Wurzeloperation im reellen Zahenraum ist für Radikanden <0 nicht definiert, die gibt's erst in den komplexen Zahlen.

Edit: Oh mann... immer diese orthografischen Mängel...

[alcaeus]

Das mit den negativen Zahlen lässt sich leicht in den Griff bringen.
Die Wurzel wird vom Betrag der Zahl ausgerechnet, dass die Funktion auch ganz sicher damit klarkommt.
Sobald du das Ergebnis hast, verzweigst du:

• War die Zahl negativ, dann musst du nochmals verzweigen:
  • ist der Exponent ungerade (Odd), dann ist das Endergebnis einfach negativ.
  • ist der Exponent hingegen gerade, dann gibst du eine Fehlermeldung zurück.
• War die Zahl hingegen von Anfang an positiv, dann gibst du einfach das Zwischenergebnis zurück.

Greetz
alcaeus

[rantanplan99]

Es geht ja nicht darum das es 'glatt' aufgeht oder nicht, sondern darum das n-te Wuzeln aus negativen Zahlen für ungerade n auch im reellen definiert sind, und nicht komplex sind. die Wuzel aus -2 ist natürlich eine Komplexe Zahl, aber die 3te Wurzel aus -2 ist wiederrum eine reelle Zahl (-1,259921....) genauso wie die 5te, 7te, 9te Wurzel aus -2.

[Jelly]

Es gibt keine negativen Wurzeln im reellen Zahlenraum. Und zwar gilt

n-te Wurzel(x)
= x^(1/n)
= exp[ ln(x^(1/n) ]
= exp[ 1/n * ln(x) ]

Die e-Funktion macht hier keine Probleme, wohl aber ln(x)... Die Log-Funktion hat nur einen Definitionsraum für x aus ]0..unendlich[

Wenn du das nicht beachtest, landest du im komplexen Raum.

[alcaeus]

Hallo Jelly,

das ändert aber nichts an der Tatsache, dass die dritte Wurzel von -27 auch im reellen Zahlenraum definiert ist. Wie und ob du das ausrechnen musst, damit wirklich -3 rauskommt, ist ein anderes Thema, aber es ist so definiert.

Greetz
alcaeus

[jfheins]

Wurzeln von negativen Zahlen sind in den Rellen Zahlen nicht definiert. (PUNKT)

Daran ändert auch die Tatsache, dass -3^3 = -27 ist, nichts.

Hmm ... grad' nachgeschaut ... doch nicht ... http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29

Zitat:

Bei ungeraden Wurzelexponenten gilt: Eine Lösung ist für alle natürlichen Zahlen definiert. Ist der Radikand positiv, so ist das Ergebnis positiv. Ist der Radikand negativ, so ist das Ergebnis auch negativ.

[tommie-lie]

Zitat von rantanplan99:

Es geht ja nicht darum das es 'glatt' aufgeht oder nicht, sondern darum das n-te Wuzeln aus negativen Zahlen für ungerade n auch im reellen definiert sind, und nicht komplex sind.

Ich kann's nicht fassen, daß ich dafür extra meinen Matheduden rauskramen muss, aber dennoch:

Zitat:

Wurzel: Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen reellen Zahl a heißt diejenige nichtnegative reelle Zahl w, deren n-te Potenz gleich a ist:

Code:

  n-rt(a) = w <=> w^n = a.

[...]
Wurzeln sind nur für nichtnegative Radikanden definiert. Dies ist für gerade Wurzelexponenten n klar, da w^n für gerades n nicht negativ sein kann. Für ungerades n führen negative Radikanden zu Widersprüchen, wenn man die Regel (5) beibehalten möchte. Dies zeigt folgendes Beispiel:

Code:

-2 = 3-rt(-8) = 6-rt((-8)^2)
   = 6-rt(64) = 2

Man sollte also (-2)^3 = -8 nicht in der Form 3-rt(-8) = -2 schreiben.
Im Bereich der komplexen Zahlen hat die Gleichung w^n = a für a != 0 stets n verschiedene Lösungen.

Die besagte Regel (5) besagt folgendes:

Zitat:

(5) (m*k)-rt(a^(n*k)) = m-rt(a^n)

Wurzeln aus negativen Radikanden im reellen Zahlenraum sind nicht definiert.

[Nikolas]

@ Jelly:
Deine Argumentation ist etwas komisch...
Wenn ich da nicht einen Denkfehler habe, könnte man ja auch sagen:
a=e^ln(a) -> also kann a nur positiv sein.

In der ersten Zeile musst du dazu sagen, dass dein Ausdruck, denn du in der nächsten Zeile in das e^ln() packst, positiv ist, sonst darfst du da kein Gleichheitszeichen setzen.

[moritz]

Nochmal was zum Thema (-27)^(1/3):
In Europa gilt die Wurzel einer negativen Zahl als nicht definiert, auch wenn es bei (x)^(1/n) bei n e N | n mod 2 = 1 durchaus sinnvoll wäre. Die Japsen (Bei Amerika weiß ich es nicht) jedoch rechnen auch mit einer negativen Basis, was erklärt, warum der Taschenrechner (Casio ^^) einem für (-27)^(1/3) als Ergebnis -3 ausspuckt.

Gruß