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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 22. Mai 2009
Delphi
Appollonische Verdichtung
Drei sich berührende Kreise bilden ein Kreiszwickel. Das Fraktal Appolonische Verdichtung endsteht indem man einen Kreiszwickel einen einbeschriebenen Kreis hinzufügt, so entstehen 3 neue Kreiszwickel, in die bei der nächsten Stufe wieder Kreise einbeschrieben werden.
Die Umsetzung des rekursiven Algorithmus ist einfach, nur die Berechnung der einbeschriebenen Kreise erfordert größte Aufmerksamkeit.
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 10. Jun 2009
Delphi
Plotten von Messwerten
Interpolation nach Bessel
Das Programm behandelt die Interpolation bei der Aufzeichnung der Messwertkurve eines registrierenden Gerätes. Das Gerät liefert Messwerte in äquidistanten Abständen, die während der Registrierung als glatte Messwertkurve aufgezeichnet werden sollen.
Mit linearer Interpolation kann man das letzte Intervall sofort nach der Messung des letzten Punktes aufzeichnen. Die Kurve ist nicht glatt und gibt das Rauschen der Messwerte wieder.
Zur Glättung kann man mehrere Messwerte zu einem Punkt als Mittelwert zusammenfassen, damit wird das Rauschen der...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 20. Mai 2009
Delphi
C&F Orbits, Zeitreihen
Eine komplexe Formel wird iteriert. d. h. immer wieder auf ihr Ergebnis angewand.
Dabei kann ihr Wert unabhänging vom Anfangswert immer gegen den gleichen Endwert streben.
Über alle Grenzen wachsen, wir sagen die Formel divergiert.
Andere Formeln bilden einen Orbit oder seltsamen Attraktor, auf den die Werte immer wieder zurückkehren.
Das Problem wurde vom Metreologen Edward N. Lorenz erkannt und vom Mathematiker Otto Rössler näher untersucht.
Interessant sind Orbits, die sich langsam entwickeln und dabei schöne Muster bilden.
Orbits hängen empfindlich von den...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 19. Mai 2009
Delphi
FUNKTIONSPLOTTER
Funktionsplotter
Der Funktionsplotter zeichnet Diagramme mit Graphen von
• expliziten Funktionen y = f(x)
• Kurven in Parameterdarstellung x = fx(t), y = fy(t)
• Kurven in Polarkoordinaten r = f(phi)
Die Funktionen können analytisch mit Formeln oder durch Tabellen gegeben sein. Es können Tabellen der Funktionswerte angezeigt und ausgedruckt werden.
Ein Diagramm wird mit max. 2 Graphen in einem wählbaren Diagrammbereich erzeugt. Dem Diagramm können weitere Graphen zugefügt werden. Die Bearbeitung eines Diagramms kann protokolliert werden.
Diagramme können mit...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 25. Mai 2009
Delphi
Cayley: Einheitswurzeln
Cayley: Attractionsgebiete von z3 = 1
Die Gleichung z3 - 1 = 0 hat eine reelle Lösung z = 1 und zwei komplexe Lösungen e2i/3 und e-2i/3.
Nähert man diese nach Newton durch
z := z - (z^3 - 1)/3*z^2
an, so kann man in der komplexen Ebene drei Attraktionsgebiete definieren, deren Punkte als Anfangspunkte mit der Iteration zu jeweils einer der drei Lösungen führen. Die Anzahl der Iterationen, die den Punkt in eine Umgebung der Lösung führen, ist ein Maß der Konvergenzgeschwindigkeit.
Der englische Mathematiker A. Catley wies bereits 1879 auf die Schwierigkeiten...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 7. Jun 2009
Delphi
C&F IFS Iterierte Funktionssysteme
IFS: Iterierte Funktionensysteme
Die klassischen fraktalen 'Monster'-Kurven können erzeugt werden, indem in jeder Stufe alle Strecken nach der Vorschrift eines Generators durch einen Polygonzug aus kürzeren Strecken ersetzt werden. Durch sukzessives Wiederholen wird das Fraktal angenähert: Fraktal-Generator.
Iterierte Funktionensysteme (IFS) verallgemeinern dieses rekursive Verfahren. Ein Anfangsbild wird in jeder Stufe durch kontrahierende affine Transformationen in eine Reihe von verkleinerten Bildern zerlegt. Das Verfahren wird mit diesen wiederholt, bis das...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 6. Jun 2009
Delphi
C&F Fraktalgenerator
Fraktal-Generator Einführung
Helge Koch, Cesare Peano und David Hilbert schufen die erste fraktalen Kurven als 'Monster' zur Analysis. Die Koch-Kurve wurde als Beispiel einer überall stetigen aber nirgends differenzierbaren Funktion ersonnen. Die Peano-Kurve als Kurve, die jeden Punkt in einem Quadrat mindestens einmal erreicht. Die Hilbert-Kurve erreicht jeden Punkt eines Quadrates genau einmal, bildet damit eine Fläche umkehrbar eindeutig auf eine Kurve ab.
Die Erzeugung der fraktalen Koch-Kurve erfolgt, indem eine Grundlinie (der Initiator) nach den Vorschriften des...
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Erstellt von
Dipl Phys Ernst Winter, 6. Jun 2009
Lösung von Gleichungen
Berechnung von Nullstellen einer Funktion
Gleichungen der Form f(x) = 0 lassen sich nur für ganz wenige Typen von Funktionen in geschlossener Form lösen: Polynome 1 bis 3.ten Grades und Funktionen, die sich auf solche zurückführen lassen. Die Lösungsformeln für Gleichungen 3. Grades sind jedoch so unhandlich, dass sie praktisch nicht verwendet werden, sondern wie alle anderen Gleichungen durch numerische Iterations- oder Nährungsverfahren gelöst werden.
Beachte: Nährungsverfahren sind nicht weniger Exakt als geschlossene Lösungen! Die Berechnung irrationaler und...
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